Problema de los dos cuerpos extendidos en Relatividad General bajo la Aproximación Post-Newtoniana

Abstract

El problema de la dinámica de los cuerpos en la Teoría de la Relatividad General ha sido objeto de estudio desde su propio nacimiento. Diferentes métodos han sido desarrollados para calcular e interpretar las contribuciones relativistas al movimiento de cuerpos afectados por campos gravitacionales. Sin embargo, la dependencia de estos campos de cualquier distribución de energía, incluyendo la propia gravitacional, se constituye en una dificultad fundamental que hace de este un problema abierto de la Física. El objetivo del presente trabajo es realizar una exposición exhaustiva de un método general para tratar el movimiento de los cuerpos extendidos en la Teoría de la Gravedad de Einstein. Para esto se parte del programa clásico seguido en la teoría newtoniana, proponiendo una expansión multipolar de los potenciales gravitacionales en función de los momentos de densidad de masa, momentum y esfuerzos, lo cual conduce a las ecuaciones de movimiento traslacional y rotacional de un sistema autogravitante y aislado, compuesto de cuerpos extendidos. Un acercamiento geométrico al problema newtoniano, basado en la definición del funcional de momentum generalizado, también es tratado, con el _n de extender el método al escenario relativista. Partiendo de los postulados de la Relatividad General, se plantean las definiciones de tubo de mundo, línea de mundo, momentum, momentum angular, fuerza, torque y centro de masa. Se obtienen las ecuaciones generales de movimiento para un cuerpo extendido sin restringir el espacio-tiempo del cual hace parte. Siguiendo el método trazado se calculan las ecuaciones de Papapetrou para un cuerpo de prueba extendido que se mueve bajo una métrica estática e isotrópica, sin prescindir de las contribuciones de _órdenes superiores a las dipolares. Finalmente se estudia un sistema compuesto por dos cuerpos extendidos, en el marco de la aproximación postnewtoniana definiendo los momentos multipolares de masa y momentum a partir de los potenciales gravitacionales al primer orden postnewtoniano. Siguiendo el formalismo de Landau-Liftshitz se encuentran las leyes de movimiento para los momentos y con base en la transformación de coordenadas estándar de esta teoría, se plantean las ecuaciones de movimiento traslacional.

Abstract. The dynamics of extended bodies is a fundamental problem in any gravitational theory. In the case of General Relativity, this problem is under study since the theory was published. Several methods have been developed and di�erent approaches are avalaible in the literature to interpret the relativistic contributions in the motion under gravity in uence. The main goal in this thesis is to study a general method to face the equation of motion for extended bodies in General Relativity. We started with a proposal in the Newtonian theory, which consists in a multipolar expansion for the gravitational potentials as a function of the mass density moments and other physical variables as the stress tensor. The methodology give us the equation of motion for an isolated and self-gravitating system of extended bodies in Newtonian mechanics. A geometrical approach to get the equation of motion is also used for the Newtonian problems, it allows us to extend the methodology to General Relativity. In General Relativity, some new concepts are necessary: world tube, world line, generalized ideas of momentum, angular momentum, torque and mass center are introduced in a general context. General expressions for the equation of motion in the case of extended bodies are written without any restriction. In order to gain some physical understanding, we compute the Papapetrous's equation of motion for a test extended body in a static and isotropic metric. Finally, we study a system of two extended bodies in the post-Newtonian approximation. We de�ne the mass multipole moments and momentum from the gravitational potentials (metric functions) to the �rst post-Newtonian order. We follow the Landau-Liftshitz formalism to �nd out the equation of motion for the moments and applying the standard coordinate transformation for this theory, we write the traslational equation of motion.