Una obstrucción para extender la dualidad de Gelfand al contexto no conmutativo

Abstract

Es bien sabida la importancia de la dualidad de Gelfand. En esta construcción, surge el funtor max: CommC∗ alg → Set, que a cada C*-álgebra conmutativa unitaria C, asigna la colección max (C) de sus ideales maximales. Este texto está encaminado a demostrar que ning´un funtor F : C ∗ alg → Set, de la categoría de las C*-álgebras unitarias en la categoría de los conjuntos, cuya restricción R (F) : CommC∗ alg → Set sea tal R (F) ∼= max, es fiel. La estrategia es la siguiente: Dado A ∈ C ∗ alg, construiremos la colección N − max (A) de sus N-ideales maximales y veremos que esta colección es el límite del diagrama max|C ∗(A) . Pasaremos entonces a construir el funtor N − max: C ∗ alg → Set, demostrando que éste es un objeto terminal en la categoría R−1 (max). Finalmente, apoyándonos en la propiedad universal de N − max y usando un corolario del Teorema de Kochen-Specker de mecánica cuántica, veremos que para todo F ∈ R−1 (max) se tiene que F (Mn (C)) = ∅ para cada n ≥ 3. Esto nos permitirá demostrar que no existe una extensión de la dualidad de Gelfand entre C ∗ alg y una categoría que esté estructurada sobre Set, es decir, un constructo.

Abstract: It is well known the importance of the Gelfand duality. In this construction, comes up the functor max: CommC∗ alg → Set, which assigns to every commutative unital C*-algebra C, the collection max (C) of its maximal ideals. This paper aims to demonstrate that no functor F : C ∗ alg → Set, from the category of the unital C*-algebras to the category of sets, whose restriction R (F) : CommC∗ alg → Set is such that R (F) ∼= max, is faithful. The strategy is as follows: Given A ∈ C ∗ alg, we will construct the collection N − max (A) of its maximal N-ideals and we will see that this collection is the limit of the diagram max|C ∗(A) . We will then construct the functor N − max: C ∗ alg → Set, proving that this is a terminal object in the category R−1 (max). Finally, supported on the universal property of N − max and using a corollary of the Kochen-Specker Theorem of quantum mechanics, we will show that for every F ∈ R−1 (max) it is found that F (Mn (C)) = ∅ for each n ≥ 3. This will allow us to demonstrate that it does not exist an extension of the Gelfand duality between C ∗ alg and a Set structured category, namely, a construct.