Maestría en Ciencias - Matemáticas
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Ítem Counting on generalized Fibonacci Objects(Universidad Nacional de Colombia, 2024-09) Pulido Martínez, Juan Fernando; Ramírez Ramírez, José Luis; Pulido Martínez, Juan Fernando [0009000314003616]; Discremath: Matemáticas Discretas y Ciencias de la ComputaciónLos números de Fibonacci generalizados desempeñan un papel significativo en la combinatoria, apareciendo en la enumeración de diversos objetos combinatorios. Esta tesis investiga los números de Fibonacci generalizados a través del método ECO (Enumeración de Objetos Combinatorios), culminando en la introducción de una nueva clase de palabras enumeradas por estos números, denominadas palabras de Fibonacci generalizadas. Utilizando estas palabras, construimos dos familias adicionales de objetos: los gráficos de barras generalizados de Fibonacci y los politopos generalizados de Fibonacci. La riqueza combinatoria de estas familias se explora en detalle. Para los gráficos de barras, presentamos nuevos resultados sobre su enumeración respecto a diversas estadísticas. Para los politopos, proporcionamos hallazgos parciales sobre su volumen normalizado, su $f$-vector y su estructura, arrojando luz sobre sus interesantes propiedades geométricas y combinatorias (Texto tomado de la fuente).Ítem The Non-Commutative Brillouin Torus a Non-Commutative Geometry perspective(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Florez Jimenez, Juan Sebastian; Cano Garcia, Leonardo Arturo; Reyes Lega, Andres; https://scholar.google.com/citations?user=2BAew7oAAAAJ&hlLa geometría no conmutativa ha encontrado un campo fértil de ejemplos en la mecánica cuántica y ha proporcionado herramientas matemáticas rigurosas para extraer información topológica y geométrica de esos sistemas. Esta tesis es una incursión en algunas de las herramientas utilizadas por Jean Bellissard y colaboradores para el análisis de materiales homogéneos. Con esto en mente, nuestro primer paso es examinar los objetos utilizados en dicho análisis, que son un par de algebras topológicas diseñadas para extender el ámbito del análisis de Fourier sobre Td al estudio de modelos de enlace fuerte para materiales homogéneos. Estas álgebras se presentan como una generalización de C(Td ) y C ∞(Td ), y se consideran como una variedad suave no conmutativa en el campo de la Geometría No Conmutativa, a las que nos referiremos como el Toro de Brillouin No Conmutativo. Exploramos como diversas técnicas del análisis de Fourier sobre Td pueden ser traducidas al Toro de Brillouin No Conmutativo, por ejemplo, los coeficientes de Fourier y la suma de Fejer, y cómo estas técnicas nos permiten capturar la estructura topológica y suave de dicha variedad suave no conmutativa. En este contexto, la estructura topológica se captura mediante un algebra C*, mientras que la estructura suave se captura mediante un tipo particular de algebra de Fréchet, llamada subálgebra suave. Estos resultados resultan ser los bloques de construcción para la construcción de invariantes topológicos de Hamiltonianos a través de la cohomología cíclica continua de la subálgebra suave. Otra herramienta para estudiar invariantes topológicas de Hamiltonianos es la teoría K de algebras C* y subálgebras suaves. Las subálgebras suaves y las álgebras C* comparten un cálculo funcional similar, lo que implica que las subálgebras suaves contienen suficiente información para estudiar la teoría K de sus algebras C*. Este hecho juega un papel crucial en la identificación de invariantes topológicos de Hamiltonianos. Cuando las condiciones son adecuadas (temperatura cercana a 0 y baja densidad de electrones), es una de las causas subyacentes de la cuantización de la conductividad transversal en materiales homogéneos. Esta es otra tesis sobre Geometría No Conmutativa y aislantes topológicos, sin embargo, creemos que será un recurso útil para los recién llegados al campo (Texto tomado de la fuente).Ítem On the solvability of the homogeneous Neumann problem for second order uniformly elliptic equations on non-smooth domains(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Guerra Gutiérrez, Juan Sebastián; Ardila de la Peña, Víctor ManuelWe give solvability criteria for the weak formulation of the homogeneous Neumann problem for uniformly elliptic operators of the form \begin{ceqn} \begin{align*} \mathcal{L}u = - \displaystyle \sum_{i,j = 1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left( a_{ij}\dfrac{\partial u}{\partial x_i}\right)+au \end{align*} \end{ceqn} where the $a_{ij}$ and $a$ are measurable functions satisfying certain adequate hypotheses. Conditions on the domain of definition are given to ensure the solvability of the problem in which smoothing restrictions on the boundary are relaxed.Ítem Estructura dual en modelos estadísticos sobre productos warped(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Garatejo Escobar, Olga Cecilia; Martínez Alba, NicolásEste documento es un enfoque geométrico a los modelos estadísticos y su estructura, definidos sobre variedades diferenciables cuyos puntos son distribuciones de probabilidad junto con una métrica Riemanniana (M, g) y en particular para la variedad formada por el conjunto de medidas signadas positivas sobre I={1,2,...,n} y la métrica de Fisher. Resaltamos la métrica de Fisher como objeto central de estudio en geometría de la información como en [1, Amari] y [2, Jost]. La clasificación de los modelos estadísticos, estará asociada a la agrupación de las distribuciones de probabilidad en la familia exponencial y la familia mezcla, dando lugar a conexiones duales y mutualmente libres de torsión como estructura dual. que a su vez determinan el tensor Amari-Chentsov el cual define variedad estadística como una estructura (M,g,T). Una forma de acumular información geométrica de dos variables diferentes, es usando el producto warped acudiendo a una generalización del producto cartesiano introducida en [3, O'Neill], donde da un peso diferente a uno de los factores como estructura dual y estructura estadística [9, Leonard], el cual extenderemos, mostrando que la variedad estadística se comporta bien, pero no cuando se considera un modelo estadístico (Texto tomado de la fuente).Ítem Gröbner-Shirshov bases for Sklyanin algebras(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Herrera Cano, Karol Stefany; Reyes Villamil, Milton ArmandoIn this thesis we study the theory of Gröbner-Shirshov bases for three- dimensional and four-dimensional Sklyanin algebras. First, we present a brief construction of free algebras, and then describe the theory of Gröbner-Shirshov bases of these algebras. In addition, we present examples on the computation of the bases, and in particular, we consider some relations with PBW algebras. Next, we address the origin and review some of the properties of three-dimensional Sklyanin algebras, especially the PBW property. With this, we classify the three-dimensional Sklyanin algebras that are or not PBW algebras into at least eight families, and we compute their Gröbner-Shirshov bases, obtaining in some cases finite bases and in others, apparently infinite ones. In the same way, we study four-dimensional Sklyanin algebras, reviewing some of their algebraic properties, their classification into six families of degenerate algebras, and we compute their Gröbner-Shirshov bases obtaining only for one family, a finite basis. Finally, we use a code developed in MATLAB to review the hand-made computations of the Gröbner-Shirshov bases in the different families of the three-dimensional Sklyanin algebras, and at the same time test the correctness of the code. Once verified, we use it to perform the calculations for four-dimensional Sklyanin algebrasÍtem Algunas relaciones entre álgebras de caminos y variedades algebraicas afines(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Arteaga Bastidas, Ricardo Hugo; Moreno Cañadas, Agustín; Terenufia-UnalEl objetivo principal de este trabajo es estudiar algunas relaciones entre los cocientes del álgebra de caminos de un carcaj y ciertas variedades algebraicas afines por medio de bases de Gröbner no conmutativas, así como también las propiedades que comparten las álgebras asociadas a una variedad. Con este fin, iniciamos con una exposición de los temas básicos de la teoría de representación de álgebras asociativas, incluyendo una introducción a la geometría de representación de álgebras y su desarrollo con teoría de invariantes geométrica (GIT). Con estos fundamentos, procedemos a revisar la teoría de bases de Gröbner no conmutativas, donde estudiamos los ordenamientos monomiales aplicables a álgebras de caminos y los algoritmos existentes para la obtención de estas bases. Revisamos también los sistemas de software disponibles que automatizan estos cálculos. Posteriormente abordamos conceptos básicos e introductorios de la geometría algebraica. Definimos la topología de Zariski y el célebre teorema de los ceros de Hilbert, temas fundamentales para una comprensión del último capítulo, donde finalmente estudiamos las relaciones entre álgebras de caminos y sus variedades algebraicas asociadas. Allí estudiamos el teorema de correspondencia y cómo las álgebras graduadas se pueden ver como una clase especial de subvariedades. Terminamos esta exposición considerando los ideales admisibles en la construcción de variedades algebraicas afines. Por último, tenemos un capítulo de conclusiones y trabajos futuros, donde revisamos las posibles direcciones de pueden tomar las investigaciones en estas áreas. (Texto tomado de la fuente)Ítem Around infinitary categorical logic(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Roldan Moros, Samuel Felipe; Zambrano Ramírez, Pedro Hernán; Interacciones Entre Teoría de Modelos, Teoría de Conjuntos, Categorías, Análisis y GeometríaSe estudia una generalización de la lógica categórica para lenguajes infinitarios. Principalmente se trabaja con una generalización de los topos de Grothendieck, que también generalizan los topos usados por Espíndola, y se estudia como esta definición para topos se relaciona con una versión del axioma de elección. Se prueban generalizaciones de los resultados de la lógica categórica, como la caracterización de morfismos geométricos y la relación entre topos y locales. Se enfatiza la generalización del Teorema de Deligne, el cual usa cardinales fuertemente compactos y, recíprocamente, se muestra como ciertas versiones del Teorema de Deligne pueden implicar la existencia de grandes cardinales. Para el teorema de Deligne también se introduce la propiedad de omisión de tipos débil para topos y se mira como esta relacionado con generalizaciones de los espacios de Baire. (Texto tomado de la fuente)Ítem Front Tracking para sistemas hiperbólicos de leyes de conservación(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Castillo Barajas, Jonhatan; Rendón Arbeláez, LeonardoEn este documento se estudia el método de aproximación de soluciones de leyes de conservación conocido como \textit{front tracking}, considerando el caso escalar y el caso de sistemas hiperbólicos. En ambos casos, se estudian las soluciones del problema de Riemann \begin{equation*} u_t+f(u)_x=0,\quad u(x,0)=\begin{cases} u_l, &x<0,\\ u_r, &x\geq 0, \end{cases} \end{equation*} con $(x,t)\in \R\times [0,\infty)$, considerando algunas condiciones de entropía. Este problema es crucial para introducir el método de front tracking, el cual consiste en analizar las discontinuidades del problema de Cauchy con una condición inicial aproximada por funciones constantes a trozos, resolver las interacciones entre las discontinuidades y funciona como método numérico para aproximar las soluciones de este problema. Además, se estudian las propiedades de las soluciones del problema de Cauchy que se obtienen como límite de soluciones construidas mediante front tracking. (Texto tomado de la fuente)Ítem Internal and external aspects of continuous logic and categorical logic for sheaves over quantales(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Reyes Gaona, David; Mariano, Hugo Luiz; Zambrano Ramírez, Pedro Hernán; Reyes, David; Interacciones Entre Teoría de Modelos, Teoría de Conjuntos, Categorías, Análisis y GeometríaIn this text we explore and propose notions of sheaves over commutative, integral quantales, which are based on extensions of results of the theory of sheaves over locales: the interplay of sheaves as valued-sets and the analogy of sheaves as enriched categories. Over these proposals, we define logics that find semantics in these sheaf-like objects, on the one hand, a categorical logic that characterize the notion of sheaves associated to complete valued sets as a model of certain internal construction, and in contrast an externally defined logic whose nature is based on continuous logic for metric spaces which finds in the proposal of sheaves as enriched categories an structure for interpret the semantic. (Texto tomado de la fuente)Ítem El problema de Cauchy asociado a una perturbación dispersiva de quinto orden de la ecuación de Benjamín(Universidad Nacional de Colombia, 2023-02-01) Correa Castañeda, Diego Fernando; Pastrán Ramírez, Ricardo ArielEn el contexto de la electrodinámica de fluidos, se dedujo la siguiente ecuación: $u_t + u_{xxxxx} - u_{xxx} + \sigma\, u_{xx}+uu_x=0$, donde $\sigma$ es la llamada "transformada de Hilbert". En este trabajo se estudió el problema de Cauchy asociado a esta ecuación, obteniendo resultados de bien planteado local en los siguientes casos: primero, tomando un dato inicial real arbitrario en el espacio periódico de Sobolev $H^s (T)$, cuando $s>3/2$, y segundo, cuando el dato inicial pertenece a $L^2 (R)$. (Texto tomado de la fuente)Ítem Ecuaciones para retículos distributivos con cuantificador(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Ramírez Ramos, Nicolás José; Gaitan, HernandoEste trabajo aborda el estudio de los Q-retículos distributivos, generalizaciones de las álgebras Booleanas monádicas. Mediante resultados de dualidad basados en el trabajo de Stone, Priestley y Halmos se muestra que las subvariedades de los Q-retículos distributivos forman una ω + 1 cadena, donde cada subvariedad es generada por una única álgebra finita. El objetivo es encontrar nuevas ecuaciones que caractericen estas subvariedades, explorando la dualidad en el caso finito y analizando la estructura de sus álgebras generadoras. (Texto tomado de la fuente)Ítem Comportamiento de funciones armónicas sobre variedades de curvatura negativa(Universidad Nacional de Colombia, 2022-07-25) Bravo Buitrago, John Edison; Cortissoz Iriarte, Jean Carlos; Bravo Buitrago, John Edison [0001823088]; Rodríguez Blanco, GuillermoEl propósito de esta tesis de maestría es estudiar la existencia de funciones armónicas acotadas no constantes, dando demostraciones novedosas con estimativos explícitos de versiones de teoremas, ahora ya clásicos, sobre la existencia de dichas funciones armónicas acotadas no constantes como demostraron Anderson y Sullivan en [1] y [17]. Entre los métodos usados en esta tesis está una generalización de la conocida desigualdad de Gronwall, la teoría de Sturm-Liouville y ecuación de Riccatti parecen dictar el comportamiento de la parte radial de las soluciones a la ecuación de Laplace obtenidas por el método de separación de variables en el caso de métricas obtenidas por productos torcidos (alabeados -warped en inglés). (Texto tomado de la fuente)Ítem Lagrangian submanifolds under special conditions of degeneracy of symplectic structures(Universidad Nacional de Colombia, 2023-01) Orozco Macana, Iván Andrés; Martínez Alba, NicolasEl objetivo de este proyecto es estudiar una versión de las subvariedades lagrangianas en estructuras folded-simplecticas y b-simplecticas. Empezaremos estudiando cómo podemos dar una definición de subvariedades isotrópicas, coisotrópicas y Lagrangianas en estas estructuras que sea consistente con la definición de la caso simpléctico, después de eso, a partir de una variedad, construiremos ejemplos canónicos de una subvariedad Lagrangiana en el caso folded-simpléctico y b-simpléctico. Finalmente, haremos una versión del teorema de la vecindad Lagrangiana en estas estructuras. (Texto tomado de la fuente)Ítem Pares coherentes generalizados de polinomios ortogonales en dos variables(Universidad Nacional de Colombia, 2023-06) Cortés Garzón, Juan Esteban; Pinzón Cortés, Natalia CamilaEn este trabajo nos centraremos en la obtención de pares x_k-coherentes de polinomios ortogonales en varias variables a partir de un sistema de polinomios ortogonales escogido inicialmente, concepto introducido en [28] de 2019 por Francisco Marcellán, Misael Marriaga, Teresa Pérez y Miguel Piñar, mediante el uso de programación en el software Wolfram Mathematica. (Texto tomado de la fuente)Ítem Constructible sets in lattice-valued models(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Moncayo Vega, Jose Ricardo; Zambrano Ramírez, Pedro Hernán; Interacciones Entre Teoría de Modelos, Teoría de Conjuntos, Categorías, Análisis y GeometríaWe investigate different set-theoretic constructions in Residuated Logic based on Fitting’s work on Intuitionistic Kripke models of Set Theory. Firstly, we consider constructable sets within valued models of Set Theory. We present two distinct constructions of the constructable universe: L B and L B , and prove that the they are isomorphic to V (von Neumann universe) and L (Gödel’s constructible universe), respectively. Secondly, we generalize Fitting’s work on Intuitionistic Kripke models of Set Theory using Ono and Komori’s Residuated Kripke models. Based on these models, we provide a general- ization of the von Neumann hierarchy in the context of Modal Residuated Logic and prove a translation of formulas between it and a suited Heyting valued model. We also propose a notion of universe of constructable sets in Modal Residuated Logic and discuss some aspects of it.Ítem Conteo sobre los poliminós asociados a las Palabras de Catalan(Universidad Nacional de Colombia, 2022) Toquica Arenas, Diana Andrea; Ramírez Ramírez, José Luis; Discremath: Matemáticas Discretas y Ciencias de la ComputaciónLas palabras de Catalan son palabras sobre los números naturales cuyo crecimiento está restringido. El conjunto de palabras de Catalan está enumerado por los números de Catalan. En este trabajo se presentan las funciones generatrices para los poliminós asociados a las palabras de Catalan de acuerdo al área, el semiperímetro, los puntos interiores y el grado de los vértices. Además se muestran los resultados obtenidos para las relaciones de recurrencia y fórmulas exactas para el número total de estos parámetros. (Texto tomado de la fuente).Ítem Funciones Zeta locales de Igusa y polinomios de Bernstein(Universidad Nacional de Colombia, 2022) Cifuentes Espitia, Luis Alejandro; Rodriguez, John JaimeEl propósito del presente documento en el que se desarrolla el trabajo final de maestra, es estudiar la conjetura planteada en 1988 por el matemático Jun-ichi Igusa en [10]; la cual asegura una relación entre los polos de la función zeta local de Igusa Z(s, f) y los ceros del polinomio de Bernstein-Sato bf. Además, se abordan conceptos básicos en el área de análisis p-ádico y se estudia el comportamiento de familias particulares de polinomios f ∈ Zp[x1, x2, ..., xn] en dicha conjetura. (Texto tomado de la fuente)Ítem Análisis espectral de operadores de Schrödinger ergódicos(Universidad Nacional de Colombia, 2022-10-07) Silva Barbosa, Pablo Blas Tupac; Álvarez Bilbao, Rafael José; Bautista Díaz, Serafín; SisdimunalEn este trabajo final de maestría estudiamos los tipos espectrales de las familias de operadores de Schrödinger unidimensionales discretos {Hω}ω∈Ω en las que el potencial de Hω está dado por Vω(n) = f(T nω), para n ∈ Z, donde f : Ω → R es una función continua y T es un homeomorfismo ergódico en un espacio compacto Ω. Con base en la investigación de Boshernitzan y Damanik (2008), definimos las propiedades de repetición topológica y métrica en el sistema dinámico {Ω, T} y demostramos detalladamente que cada una de estas propiedades es condición suficiente para que el espectro puramente continuo sea una propiedad genérica de {Hω}ω∈Ω. La principal herramienta del trabajo es el lema de Gordon, del cual propone mos una demostración paso a paso y analizamos sus implicaciones. También exponemos y demostramos dos resultados propios que generalizan el teorema central de la investigación. citada y discutimos ejemplos de aplicación. (Texto tomado de la fuente)Ítem Mutations in Brauer Configuration Algebras and Some of Its Cryptographic Applications(Universidad nacional de Colombia, 2021) Camacho Vega, Juan David; Agustín, Moreno Cañadas; Terenufia-UnalLas mutaciones de las algebras de configuración de Brauer son exploradas y estudiadas como herramientas para obtener soluciones para algunas generalizaciones del problema de los McNuggets de pollo junto con una exposici´on de unos autómatas asociados a los conglomerados de configuración. Este acercamiento permite construir una descripción algebraica del itinerario de las claves AES por medio de un autómata no determinista adecuado. (Texto tomado de la fuente)Ítem Una descomposición espectral para conjuntos singulares hiperbólicos(Universidad Nacional de Colombia, 2022-06-22) Bohórquez Castllo, Wilfredo; Bautista Diaz, SerafinEn este trabajo estudiaremos los resultados obtenidos por Carlos A. Morales y Maria José Pacífico donde se extienden algunas propiedades de conjuntos hiperbólicos a una clase más general, los conjuntos parcialmente hiperbólicos y singular hiperbólicos, en variedades tridimensionales. Como resultado principal se muestra una extensión del Teorema de Descomposición Espectral de Smale sobre conjuntos singulares hiperbólicos.