Global lipschitz continuous solutions for a linear damped p-system

Abstract

In this proposal we present an alternative point of view for the mathematical treatment of a linearly damped p-system through a variant of the vanishing viscosity method and the use of the theory of compensated compactness. We prove the existence of a weak global Lipschitz continuous solution for the Cauchy problem $$ \begin{cases} v_{t}-u_x = 0 & (x,t) \in \mathbb{R} \times (0,\infty)\\ u_t+p(v)_x = -\alpha u, \end{cases} $$ with $\alhpa > 0$, and $p$ a smooth function subject to suitable conditions. The solution is constructed as the limit of global smooth solutions of parabolic perturbations of the system and its Lipschitz continuity is obtained trough classical embedding theorems of Sobolev spaces.

En esta propuesta presentamos un punto de vista alternativo para el tratamiento matemático de un p-sistema linealmente amortiguado mediante una variante del método de la viscosidad nula y el uso de la teoría de compacidad compensada. Probamos la existencia de una solución débil global, Lipschitz continua para el problema de Cauchy $$ \begin{cases} v_{t}-u_x = 0 & (x,t) \in \mathbb{R} \times (0,\infty)\\ u_t+p(v)_x = -\alpha u, \end{cases} $$ con $\alpha>0$, y $p$ una función suave sujeta a condiciones apropiadas. La solución es construida como el límite de soluciones suaves globales de perturbaciones parabólicas del sistema y la Lipschitz-continuidad es obtenida a través de teoremas clásicos de inmersión en espacios de Sobolev.