Ecuaciones dispersivas no lineales en espacios de Sobolev con peso

Abstract

En este trabajo abordaremos, de una forma alternativa a la realizada por Fonseca, Linares y Ponce en [7], el buen planteamiento local del problema de Cauchy asociado a la ecuación Korteweg-de Vries (@tu(x; t) + @3 xu(x; t) + u(x; t)@xu(x; t) = 0; x; t 2 R: u(x; 0) = u0(x): Con base en la fórmula de Duhamel y utilizando el teorema de punto fijo de Banach demostraremos la existencia y unicidad de solución en un subconjunto del espacio de Sobolev con peso Zs;r := Hs(R)\L2(jxjrdx). Para esta finalidad emplearemos estimativas lineales sobre el semigrupo unitario asociado y su derivada de Stein, argumentos similares a las ideas de Kenig, Ponce y Vega y un lema de interpolación de Nahas y Ponce. La dependencia continua del dato unicial u0 se deriva directamente del método empleado.