Maestría en Ciencias - Matemáticas

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Una mirada al problema del Coquecigrue : algunas soluciones y estructuras algebraicas
(Universidad Nacional de Colombia, 2025-09) Marulanda Rodríguez , Sebastián; Rodríguez Nieto, José Gregorio; Velásquez Ossa, Raúl Eduardo; Rodríguez Nieto, José Gregorio [0000-0002-3525-7418]; Representaciones de Estructuras Algebraicas
En esta tesis se investiga el problema del Coquecigrue, una generalización del Tercer Teorema de Lie que profundiza en la conexión entre la topología diferencial y las estructuras algebraicas. El Tercer Teorema de Lie, en su versión categórica, establece una equivalencia de categorías entre los grupos de Lie simplemente conexos y las álgebras de Lie sobre campos de números reales o complejos. Este resultado desempeña un papel fundamental en el estudio de las relaciones entre estas estructuras. El trabajo se centra en el problema relacionado con las álgebras de Lie y los grupos de Lie, y se plantea como punto de partida para explorar diversas generalizaciones del Coquecigrue, cuya complejidad surge de la interacción entre la teoría de Lie y otras estructuras algebraicas, como los digrupos y los racks de Lie. A lo largo de la investigación se revisan las soluciones conocidas y se proponen nuevos enfoques para abordar este problema, con el propósito de extender dichas soluciones a casos más generales. Este estudio ofrece nuevas perspectivas para la comprensión del Tercer Teorema de Lie y sus posibles generalizaciones, contribuyendo al desarrollo de un marco más amplio para el análisis de las estructuras algebraicas en topología diferencial. (Tomado de la fuente)
Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas de campos
(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Córdoba Cadena, Sebastián Alejandro; Quintero Vélez, Alexander; Córdoba Cadena, Sebastián Alejandro [0009-0001-0442-2804]
Esta tesis aborda la estructura matemática de las teorías cuánticas de campos (QFTs), partiendo de una base sólidas en las teorías clásicas de campos. Se comienza con una revisión de los conceptos fundamentales de las teorías clásicas, incluyendo las ecuaciones de EulerLagrange, la geometría diferencial del espacio de campos, y las simetrías en teorías clásicas de campos, incluyendo el importante teorema de Noether y sus consecuencias. A partir de aquí, se hace explica cómo se pueden construir QFTs a partir de teorías clásicas de campos. Se explora la integral de caminos de Feynman incluyendo su derivación heurística. Por último se analiza una QFT en dimensión cero, un caso simplificado en el que es posible definir todo formalmente y que permite explorar aspectos generales de las QFTs: la teoría ϕ 4. Se introduce la idea de la regla de Wick y los diagramas de Feynman, para explotar las propiedades combinatorias de la teoría. (Tomado de la fuente)
On arithmetic equivalence and Iwasawa invariants
(Universidad Nacional de Colombia, 2024-10) Pérez López, Carlos Alberto; Mantilla Soler, Guillermo Arturo; Vélez Caicedo, Juan Diego
This thesis explores the connections between two fundamental areas of algebraic number theory: Iwasawa Theory and Arithmetic Equivalence. On one hand, it examines the growth of ideal class groups in cyclotomic extensions of the p-adic integers, based on the pioneering work of Kenkichi Iwasawa, who introduced p-adic methods to describe this growth using Iwasawa modules. On the other hand, it analyzes the Dedekind zeta function, a central object that encodes arithmetic information about a number field, and the concept of arithmetic equivalence, developed by Ronald Perlis, which identifies non-isomorphic number fields with identical zeta functions through the notion of Gassmann equivalence. The thesis highlights how certain Iwasawa modules can help determine the zeta functions of totally real number fields and identify relationships between the Iwasawa modules of arithmetically equivalent fields. The chapters include a historical overview, a presentation of the foundational theorem of Iwasawa theory, a study of L-functions and their p-adic analogues, as well as a detailed analysis of arithmetic equivalence and its relation to zeta functions. Finally, the Main Conjecture of Iwasawa Theory is revisited, linking algebraic and analytic objects, and establishing bridges between Iwasawa theory and arithmetic equivalence. (Tomado de la fuente)
Tree-level recursive self-dual Yang-Mills and self-dual Gravity
(Universidad Nacional de Colombia, 2025) Herrera Correa, Daniel; Lopez Arcos, Cristhiam Manuel; Quintero Velez, Alexander; Herrera Correa, Daniel [0009-0002-1521-9921]
This work studies the quantization of gauge theories in the sense of the Batalin-Vilkovisky (BV) formalism by using the language of dg-manifolds, introduced initially by Schwarz, Kontsevich, et. al., and some mathematical consequences of this language, with an emphasis on the fact that the underlying structure of the quantizable theory is a symplectic dg-manifold called QP-manifold. These structures give rise to homotopy Lie algebras such as L_infinity-algebras so that the classical BV formalism is translated into a Maurer-Cartan theory for a cyclic L_infinity-algebra that already recovers all the information of the associated gauge theory. The advantage of this language when describing the physics of particular models is that the L_infinity-algebra allows one to produce a generating function of tree-level amplitudes by directly implementing the so-called Berends-Giele currents. We tested this approach by explicitly calculating Berends-Giele currents from the L_infinity-structure of different theories, such as Yang-Mills theory, self-dual Yang-Mills, and self-dual Gravity, constructing the last one as the double-copy of self-dual Yang-Mills. (Tomado de la fuente)
On the Galois theories and categorical aspects of strongly normal extensions
(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Ruiz Castrillon, Juan Felipe; Blázquez Sanz, David
Differential algebra study differential equations from an algebraic point of view, it was introduced by Joseph Ritt saying that a differential algebraic structure(ring, field, algebra) is the structure joint of a finitely set of derivations. Later the notion of Strongly Normal Extension was introduced by Kolchin [11] and more recently by Jerald Kovacic [4, 5]. (Tomado de la fuente)
Discretización de las Ecuaciones de Maxwell y Yang-Mills
(Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, 2023) Hernández Julio, Livan Josep; Quintero Vélez, Alexander
El cálculo exterior discreto tiene una gran utilidad en los cálculos que se hacen en algunas teorías que, en principio, son difíciles de efectuar. Pasar de un modelo continuo a un modelo discreto tiene sus ventajas al momento de la comprensión de los sucesos y al momento de la experimentación en la física para corroborar ciertas deducciones teóricas. Pero, ¿cómo conectamos el mundo continuo con el mundo discreto? Para ello definiremos dos funciones importantes: el mapeo de De Rham y el mapeo de Whitney. Estas funciones conectan los objetos más importantes para hacer cálculo en cada teoría, las formas (continuas y discretas). Además en el cálculo exterior discreto tenemos operadores que son análogos a los del cálculo exterior continuo, tal como el producto exterior (el cual no se definirá aquí en la teoría del capítulo 2), el operador estrella de hodge y un producto interno. Por otro lado, encontrar un buen modelo discreto para aplicar todas estas ideas es la tarea importante y clave de este trabajo. Aquí hemos optado por hacer un discretización al plano de forma de un látice. Creamos un análogo de un producto exterior, un análogo del teorema de Stokes, un análogo de la derivada exterior, un análogo del operador estrella de Hodge y un producto interno interesante para concluir dicha discretización conectando con las ecuaciones de Yang-Mills, nuestro principal enfoque. (Tomado de la fuente)
Schottky Problem
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-08) Echavarría Arenas, Santiago; Quintero Vélez, Alexander
An accessible introduction to the Schottky problem is given, with explicit computations included. The Schottky problem asks what abelian varieties are jacobian varieties, where a jacobian variety is a certain complex torus constructed out from a Riemann surface, and abelian varieties are complex tori which can be embedded in projective space. Ideas around embeddings will be introduced. Fay’s trisecant identity, which is an identity that comes from generalizing the cross ratio of a Riemann sphere to higher genus via theta functions, will be the cornerstone pointing towards the statements that solved the Schottky problem in a concrete way in the 1980’s. (Tomado de la fuente)
Geometric, dynamical, and topological considerations of horseshoe-type functions
(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Cardona Zapata, Alejandro; Giraldo Galeano, Óscar Iván; Rodríguez Nieto, Jose Gregorio
In this thesis we will address the study of a version of the Smale’s horseshoe function and the baker’s function, along with their dynamical properties, from a topological perspective. To this end, fundamental notions regarding hyperbolic geometry, dynamical systems, and Riemann surfaces will be introduced. Subsequently, we will define the horseshoe and Baker functions by composing two geometric transformations defined on the unit square, denoted as Q. These transformations will induce a series of identifications on the boundary of Q. To study the geometric and topological properties of the resulting quotient space, we will employ the notions introduced about Riemann surfaces. Finally, we introduce some concepts from ergodic theory to study the dynamics of the horseshoe function system. (Tomado de la fuente)
Rack and Quandle Representations and Connections to the g-digroup Structure
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-12-05) Vallejos Cifuentes, Ricardo Esteban; Rodriguez Nieto, José Gregorio; Vallejos Cifuentes, Ricardo Esteban [0009-0000-4216-0473]
En este trabajo estudiamos algunas propiedades algebraicas de las estructuras de rack y quandle así como la teoría de representaciones de estos objetos. Concretamente, demostramos que existe una correspondencia entre las representaciones fuertes e irreducibles de un rack finito y conexo con las representaciones irreducibles de su grupo finito envolvente, lo cual implica que podemos estudiar las representaciones fuertes de un rack finito y conexo a través de la teoría de representaciones de grupos finitos. Por último, estudiamos la estructura de digrupo generalizado y su relación con la estructura de rack. (Tomado de la fuente)
Iterated forcing with finitely additive measures: applications of probability to forcing theory
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-01) Uribe Zapata, Andrés Felipe; Mejía Guzmán, Diego Alejandro; Parra Londoño, Carlos Mario; 0000-0003-2463-1360
The method of finitely additive measures along finite support iterations was introduced by Saharon Shelah in 2000 (see [She00]) to show that, consistently, cov(N ) may have countable cofinality. In 2019, Jakob Kellner, Saharon Shelah and Anda Tanasie ˇ (see [KST19]) improved the method: they achieved some new generalizations and applications, such as separating the left side of Cichon’s ´ diagram with b < cov(N ). In this thesis, based on probability theory tools and the articles cited above, we develop a general theory of iterated forcing using finitely additive measures. For this purpose, we introduce two new notions: on the one hand, we define a new linkedness property, which we call “µ-FAM-linked” and, on the other hand, we generalize the notion of intersection number to forcing notions, which justifies the limit steps of our iteration theory. Finally, we apply our theory to prove in detail the consistency of cf(cov(N )) = ℵ0, and some separations of Cichon’s ´ diagram where cov(N ) is singular. In particular, we obtain a new constellation of Cichon’s diagram ´ separating the left side with cov(N ) singular
Principio de concentración-compacidad y aplicaciones
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-08-29) Durango Higinio, Juan Diego; Vélez López, Carlos Augusto; Agudelo Rico, Oscar Iván; Agudelo Rico, Óscar Iván [0000-0002-2588-9999]
En el presente trabajo estudiamos el Principio de Concentración-Compacidad, desarrollado por el matemático francés Pierre-Louis Lions, y realizamos algunas aplicaciones en las áreas de las Ecuaciones Diferenciales Parciales y el Análisis No Lineal. (Texto tomado de la fuente)
Representación integral de soluciones de problemas no locales
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-09) Agudelo Parra, Nelson Andrés; Jiménez Urrea, Jose Manuel; Chica Castaño, Cristian Camilo; Grupo de investigación en matemáticas Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
En este trabajo estudiamos un problema semilineal que involucra un operador de tipo no local a través de la transformada de Fourier. Investigamos existencia y unicidad local de soluciones vía el principio de Duhamel y las propiedades del kernel asociado al operador involucrado. (Tomado de la fuente)
Modelos estocásticos de depredador-presa con múltiples especies: existencia y positividad de soluciones
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-06-21) Osorio Alcalde, Carlos Andrés; Ramírez Osorio, Jorge Mario
Los modelos de Lotka Volterra son ecuaciones diferenciales no lineales que estudian la dinámica de poblaciones de individuos sometidos a interacciones de depredación, mutualismo, cooperación o mezclas de estas. En el caso determinista existe una amplia literatura al respecto, pero en la contraparte estocástica aún hay muchos interrogantes y preguntas abiertas. En este trabajo se hace un estudio de la existencia de la solución y de la distribución invariante de algunas ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo Lotka Volterra siguiendo la línea del trabajo desarrollado por Mao. Finalmente, se establece una conexión entre las ecuaciones y los grafos y a partir de ahí se hace una extensión para un caso particular en el que el grafo de ecosistemas involucrados induce una forma de árbol.
Consideraciones acerca de la conjetura de Artin sobre raíces primitivas.
(Universidad Nacional de Colombia, 2021-10-11) Alzate Restrepo, Juan David; Toro Villegas, Margarita María
En este trabajo, nos centramos en estudiar la conjetura de Artin sobre raíces primitivas, hablamos sobre los argumentos heurísticos de Artin para plantear su idea, y estudiamos los teoremas más importantes referente a la conjetura hasta la fecha: El teorema de Hooley donde demuestra la conjetura bajo la hipótesis extendida de Riemann, el teorema de Gupta y Murty, que establece incondicionalmente la validez de la conjetura para al menos un a en S, donde S es un conjunto de 13 elementos perteneciente a cierta familia de conjuntos, y el teorema de Heath-Brown, donde mejora este resultado a una familia de conjuntos S de 3 elementos. También realizamos un estudio de familias específicas de primos F, donde pensamos en la conjetura en el contexto particular de esa familia, donde logramos demostrar qué condiciones debe cumplir p en F para que a = 2; 3; 5 sea raíz primitiva. Por otro lado, realizamos cómputos para los primos p = 2qr+1, de donde se verifica una densidad estable de primos para los cuales a es raíz primitiva, para ciertos valores de a; y a su vez también planteamos algunas conjeturas. (Texto tomado de la fuente)
Introducción a las descomposiciones de Heegaard y la homología de Heegaard-Floer.
(Universidad Nacional de Colombia, 2021) Zapata Rendón, Sebastian; Toro Villegas, Margarita María
Se estudia a fondo la construcción de las descomposiciones de Heegaard, haciendo énfasis en el por qué es una herramienta central en el estudio de las 3-variedades. Para esto, analizamos las 3-variedades desde las categorías topológica, suave y triángulable, en donde siempre podemos derivar el concepto de descomposición de Heegaard como algo arraigado a la 3-variedad misma. Luego de esto se explora uno de los invariantes de 3-variedades más recientes, la homología de Heegaard-Floer, centrándonos en la aparición de las descomposiciones de Heegaard en su construcción, sirviendo así como eje motivador para futuros proyectos. (Texto tomado de la fuente)
Discrete stratified Morse theory for 2-dimensional simplicial complexes
(2020-04-30) Zapata Nieto, Jeferson León; Ramos Navarrete, Edgar Arturo
The main objective of this thesis is to analyze a generalization of Morse's theory in the case of stratified spaces. The content is divided into three main parts. In the first part we present the background of the classical Morse theory, the discrete Morse theory of Forman and the stratification of a certain type of topological spaces. In the second part we describe the basic concepts in classical complexity and parameterized complexity. In the last part we analyze two main topics: Lewiner's algorithm for 2-simplicial complexes and the analysis of the complexity of the problem of finding Morse functions in the case of parameterized complexity.
Atiyah-Segal’s completion theorem
(2020-04-29) Zapata Castro, Valentina; Gómez Guerra, José Manuel
This dissertation is about Atiyah-Segal's theorem of completion. The first part studies the basic concepts of vector bundles and representation theory. Then we study K-theory and equivariant K-theory. Lastly, we construct and prove Atiyah-Segal's theorem with emphasis on inverse systems.
On the discrete heat equation and Kolmogorov's complexity theory
(2020-04-30) Hoyos Restrepo, Paulina; Quintero Vélez, Alexander; Vélez Caicedo, Juan Diego
In this thesis we study the heat equation on graphs from the perspective of information theory. To this end, we introduce the discrete heat equation using the probabilistic approach of random walks on graphs. Then we present a basic introduction to the subject of information theory, both from a probabilistic and an algorithmic viewpoint. Here we define the concepts of Shannon entropy, Kolmogorov complexity and mutual information; and we use codes to give an interpretation of them. As an application, we show how random walks on graphs allow us to gain information about different graph parameters. Moreover, we use the heat diffusion process on a graph as a computational mechanism to approximate the Fourier expansion of a function defined on a finite abelian group.
Algunos aspectos del problema de obstáculo
(2020-06-30) Chica Castaño, Cristian Camilo; Vélez López, Carlos Augusto; Duque Álvarez, Luis Felipe; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín; GRUPO DE INVESTIGACION EN MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN
The aim of this work is to study some aspects of the obstacle problem: existence and uniqueness of a solution using variational inequalities; regularity of the solution using the penalization method; a regularity result for the free boundary by Kinderlehrer and Nirenberg; and a detailed solution of a one-dimensional example of the obstacle problem.
On Whitney duals of operadic posets
(2020-04-27) Quiceno Durán, Yeison Augusto; González D'León, Rafael Sebastian; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
The notion of a Whitney dual for a graded partially ordered set (poset) $P$ with a minimum element $\hat{0}$ has been introduced recently by Gonz\'alez D'Le\'on and Hallam with some interesting connections to other areas of algebra and combinatorics. We say that two posets are Whitney duals to each other if (the absolute value of) their Whitney numbers of the first and second kind are interchanged between the two posets. Some families of familiar posets such as the poset $\Pi_{n}$ of partitions of the set $\{1,2,3...,n\}$ have Whitney duals. This has been proved by defining a suitable edge labeling $\lambda$ on the edges of the Hasse diagram of $\Pi_{n}$ satisfying certain conditions. Such an edge labeling is called a Whitney labeling and Gonz\'alez D'Le\'on - Hallam proved that every graded poset that admits a Whitney labeling has a Whitney dual. We study the Whitney duality property for two families of operadic posets, finding Whitney labelings and constructing combinatorial descriptions of their Whitney duals. One is known as the family of posets of weighted partitions $\Pi_{n}^k$, studied by Gonz\'alez D'Le\'on and Wachs related to the operad $\mathcal{C}om^k$ of commutative algebras with $k$ totally commutative products, and the other is the family of posets of pointed partitions $\Pi_{n}^{\bullet}$, studied by Chapoton and Vallette associated to the operad $\mathcal{P}erm$ of $\mathcal{P}erm$-algebras. We prove that a labeling, previously defined by Gonz\'alez D'Le\'on, for $\Pi_{n}^k$ is a Whitney labeling and prove that its associated Whitney dual is a poset of colored Lyndon forests. We also find a Whitney labeling for $\Pi_{n}^{\bullet}$ and then use this labeling to show that its associated Whitney dual is a poset of pointed Lyndon forests. For the case $k=2$, it turns out that the families $\Pi_{n}^2$ and $\Pi_{n}^{\bullet}$ have the same Whitney numbers of the first and second kind. Our results imply that there are multiple non-isomorphic Whitney duals for these two families in this case.

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