Maestría en Ciencias - Matemáticas

URI permanente para esta colecciónhttps://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/82515

Examinar

Mostrando 1 - 20 de 120

On the Galois theories and categorical aspects of strongly normal extensions
(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Ruiz Castrillon, Juan Felipe; Blázquez Sanz, David
Differential algebra study differential equations from an algebraic point of view, it was introduced by Joseph Ritt saying that a differential algebraic structure(ring, field, algebra) is the structure joint of a finitely set of derivations. Later the notion of Strongly Normal Extension was introduced by Kolchin [11] and more recently by Jerald Kovacic [4, 5]. (Tomado de la fuente)
Discretización de las Ecuaciones de Maxwell y Yang-Mills
(Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, 2023) Hernández Julio, Livan Josep; Quintero Vélez, Alexander
El cálculo exterior discreto tiene una gran utilidad en los cálculos que se hacen en algunas teorías que, en principio, son difíciles de efectuar. Pasar de un modelo continuo a un modelo discreto tiene sus ventajas al momento de la comprensión de los sucesos y al momento de la experimentación en la física para corroborar ciertas deducciones teóricas. Pero, ¿cómo conectamos el mundo continuo con el mundo discreto? Para ello definiremos dos funciones importantes: el mapeo de De Rham y el mapeo de Whitney. Estas funciones conectan los objetos más importantes para hacer cálculo en cada teoría, las formas (continuas y discretas). Además en el cálculo exterior discreto tenemos operadores que son análogos a los del cálculo exterior continuo, tal como el producto exterior (el cual no se definirá aquí en la teoría del capítulo 2), el operador estrella de hodge y un producto interno. Por otro lado, encontrar un buen modelo discreto para aplicar todas estas ideas es la tarea importante y clave de este trabajo. Aquí hemos optado por hacer un discretización al plano de forma de un látice. Creamos un análogo de un producto exterior, un análogo del teorema de Stokes, un análogo de la derivada exterior, un análogo del operador estrella de Hodge y un producto interno interesante para concluir dicha discretización conectando con las ecuaciones de Yang-Mills, nuestro principal enfoque. (Tomado de la fuente)
Schottky Problem
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-08) Echavarría Arenas, Santiago; Quintero Vélez, Alexander
An accessible introduction to the Schottky problem is given, with explicit computations included. The Schottky problem asks what abelian varieties are jacobian varieties, where a jacobian variety is a certain complex torus constructed out from a Riemann surface, and abelian varieties are complex tori which can be embedded in projective space. Ideas around embeddings will be introduced. Fay’s trisecant identity, which is an identity that comes from generalizing the cross ratio of a Riemann sphere to higher genus via theta functions, will be the cornerstone pointing towards the statements that solved the Schottky problem in a concrete way in the 1980’s. (Tomado de la fuente)
Geometric, dynamical, and topological considerations of horseshoe-type functions
(Universidad Nacional de Colombia, 2023) Cardona Zapata, Alejandro; Giraldo Galeano, Óscar Iván; Rodríguez Nieto, Jose Gregorio
In this thesis we will address the study of a version of the Smale’s horseshoe function and the baker’s function, along with their dynamical properties, from a topological perspective. To this end, fundamental notions regarding hyperbolic geometry, dynamical systems, and Riemann surfaces will be introduced. Subsequently, we will define the horseshoe and Baker functions by composing two geometric transformations defined on the unit square, denoted as Q. These transformations will induce a series of identifications on the boundary of Q. To study the geometric and topological properties of the resulting quotient space, we will employ the notions introduced about Riemann surfaces. Finally, we introduce some concepts from ergodic theory to study the dynamics of the horseshoe function system. (Tomado de la fuente)
Rack and Quandle Representations and Connections to the g-digroup Structure
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-12-05) Vallejos Cifuentes, Ricardo Esteban; Rodriguez Nieto, José Gregorio; Vallejos Cifuentes, Ricardo Esteban [0009-0000-4216-0473]
En este trabajo estudiamos algunas propiedades algebraicas de las estructuras de rack y quandle así como la teoría de representaciones de estos objetos. Concretamente, demostramos que existe una correspondencia entre las representaciones fuertes e irreducibles de un rack finito y conexo con las representaciones irreducibles de su grupo finito envolvente, lo cual implica que podemos estudiar las representaciones fuertes de un rack finito y conexo a través de la teoría de representaciones de grupos finitos. Por último, estudiamos la estructura de digrupo generalizado y su relación con la estructura de rack. (Tomado de la fuente)
Iterated forcing with finitely additive measures: applications of probability to forcing theory
(Universidad Nacional de Colombia, 2023-01) Uribe Zapata, Andrés Felipe; Mejía Guzmán, Diego Alejandro; Parra Londoño, Carlos Mario; 0000-0003-2463-1360
The method of finitely additive measures along finite support iterations was introduced by Saharon Shelah in 2000 (see [She00]) to show that, consistently, cov(N ) may have countable cofinality. In 2019, Jakob Kellner, Saharon Shelah and Anda Tanasie ˇ (see [KST19]) improved the method: they achieved some new generalizations and applications, such as separating the left side of Cichon’s ´ diagram with b < cov(N ). In this thesis, based on probability theory tools and the articles cited above, we develop a general theory of iterated forcing using finitely additive measures. For this purpose, we introduce two new notions: on the one hand, we define a new linkedness property, which we call “µ-FAM-linked” and, on the other hand, we generalize the notion of intersection number to forcing notions, which justifies the limit steps of our iteration theory. Finally, we apply our theory to prove in detail the consistency of cf(cov(N )) = ℵ0, and some separations of Cichon’s ´ diagram where cov(N ) is singular. In particular, we obtain a new constellation of Cichon’s diagram ´ separating the left side with cov(N ) singular
Principio de concentración-compacidad y aplicaciones
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-08-29) Durango Higinio, Juan Diego; Vélez López, Carlos Augusto; Agudelo Rico, Oscar Iván; Agudelo Rico, Óscar Iván [0000-0002-2588-9999]
En el presente trabajo estudiamos el Principio de Concentración-Compacidad, desarrollado por el matemático francés Pierre-Louis Lions, y realizamos algunas aplicaciones en las áreas de las Ecuaciones Diferenciales Parciales y el Análisis No Lineal. (Texto tomado de la fuente)
Representación integral de soluciones de problemas no locales
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-09) Agudelo Parra, Nelson Andrés; Jiménez Urrea, Jose Manuel; Chica Castaño, Cristian Camilo; Grupo de investigación en matemáticas Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
En este trabajo estudiamos un problema semilineal que involucra un operador de tipo no local a través de la transformada de Fourier. Investigamos existencia y unicidad local de soluciones vía el principio de Duhamel y las propiedades del kernel asociado al operador involucrado. (Tomado de la fuente)
Modelos estocásticos de depredador-presa con múltiples especies: existencia y positividad de soluciones
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-06-21) Osorio Alcalde, Carlos Andrés; Ramírez Osorio, Jorge Mario
Los modelos de Lotka Volterra son ecuaciones diferenciales no lineales que estudian la dinámica de poblaciones de individuos sometidos a interacciones de depredación, mutualismo, cooperación o mezclas de estas. En el caso determinista existe una amplia literatura al respecto, pero en la contraparte estocástica aún hay muchos interrogantes y preguntas abiertas. En este trabajo se hace un estudio de la existencia de la solución y de la distribución invariante de algunas ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo Lotka Volterra siguiendo la línea del trabajo desarrollado por Mao. Finalmente, se establece una conexión entre las ecuaciones y los grafos y a partir de ahí se hace una extensión para un caso particular en el que el grafo de ecosistemas involucrados induce una forma de árbol.
Consideraciones acerca de la conjetura de Artin sobre raíces primitivas.
(Universidad Nacional de Colombia, 2021-10-11) Alzate Restrepo, Juan David; Toro Villegas, Margarita María
En este trabajo, nos centramos en estudiar la conjetura de Artin sobre raíces primitivas, hablamos sobre los argumentos heurísticos de Artin para plantear su idea, y estudiamos los teoremas más importantes referente a la conjetura hasta la fecha: El teorema de Hooley donde demuestra la conjetura bajo la hipótesis extendida de Riemann, el teorema de Gupta y Murty, que establece incondicionalmente la validez de la conjetura para al menos un a en S, donde S es un conjunto de 13 elementos perteneciente a cierta familia de conjuntos, y el teorema de Heath-Brown, donde mejora este resultado a una familia de conjuntos S de 3 elementos. También realizamos un estudio de familias específicas de primos F, donde pensamos en la conjetura en el contexto particular de esa familia, donde logramos demostrar qué condiciones debe cumplir p en F para que a = 2; 3; 5 sea raíz primitiva. Por otro lado, realizamos cómputos para los primos p = 2qr+1, de donde se verifica una densidad estable de primos para los cuales a es raíz primitiva, para ciertos valores de a; y a su vez también planteamos algunas conjeturas. (Texto tomado de la fuente)
Introducción a las descomposiciones de Heegaard y la homología de Heegaard-Floer.
(Universidad Nacional de Colombia, 2021) Zapata Rendón, Sebastian; Toro Villegas, Margarita María
Se estudia a fondo la construcción de las descomposiciones de Heegaard, haciendo énfasis en el por qué es una herramienta central en el estudio de las 3-variedades. Para esto, analizamos las 3-variedades desde las categorías topológica, suave y triángulable, en donde siempre podemos derivar el concepto de descomposición de Heegaard como algo arraigado a la 3-variedad misma. Luego de esto se explora uno de los invariantes de 3-variedades más recientes, la homología de Heegaard-Floer, centrándonos en la aparición de las descomposiciones de Heegaard en su construcción, sirviendo así como eje motivador para futuros proyectos. (Texto tomado de la fuente)
Discrete stratified Morse theory for 2-dimensional simplicial complexes
(2020-04-30) Zapata Nieto, Jeferson León; Ramos Navarrete, Edgar Arturo
The main objective of this thesis is to analyze a generalization of Morse's theory in the case of stratified spaces. The content is divided into three main parts. In the first part we present the background of the classical Morse theory, the discrete Morse theory of Forman and the stratification of a certain type of topological spaces. In the second part we describe the basic concepts in classical complexity and parameterized complexity. In the last part we analyze two main topics: Lewiner's algorithm for 2-simplicial complexes and the analysis of the complexity of the problem of finding Morse functions in the case of parameterized complexity.
Atiyah-Segal’s completion theorem
(2020-04-29) Zapata Castro, Valentina; Gómez Guerra, José Manuel
This dissertation is about Atiyah-Segal's theorem of completion. The first part studies the basic concepts of vector bundles and representation theory. Then we study K-theory and equivariant K-theory. Lastly, we construct and prove Atiyah-Segal's theorem with emphasis on inverse systems.
On the discrete heat equation and Kolmogorov's complexity theory
(2020-04-30) Hoyos Restrepo, Paulina; Quintero Vélez, Alexander; Vélez Caicedo, Juan Diego
In this thesis we study the heat equation on graphs from the perspective of information theory. To this end, we introduce the discrete heat equation using the probabilistic approach of random walks on graphs. Then we present a basic introduction to the subject of information theory, both from a probabilistic and an algorithmic viewpoint. Here we define the concepts of Shannon entropy, Kolmogorov complexity and mutual information; and we use codes to give an interpretation of them. As an application, we show how random walks on graphs allow us to gain information about different graph parameters. Moreover, we use the heat diffusion process on a graph as a computational mechanism to approximate the Fourier expansion of a function defined on a finite abelian group.
Algunos aspectos del problema de obstáculo
(2020-06-30) Chica Castaño, Cristian Camilo; Vélez López, Carlos Augusto; Duque Álvarez, Luis Felipe; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín; GRUPO DE INVESTIGACION EN MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN
The aim of this work is to study some aspects of the obstacle problem: existence and uniqueness of a solution using variational inequalities; regularity of the solution using the penalization method; a regularity result for the free boundary by Kinderlehrer and Nirenberg; and a detailed solution of a one-dimensional example of the obstacle problem.
On Whitney duals of operadic posets
(2020-04-27) Quiceno Durán, Yeison Augusto; González D'León, Rafael Sebastian; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
The notion of a Whitney dual for a graded partially ordered set (poset) $P$ with a minimum element $\hat{0}$ has been introduced recently by Gonz\'alez D'Le\'on and Hallam with some interesting connections to other areas of algebra and combinatorics. We say that two posets are Whitney duals to each other if (the absolute value of) their Whitney numbers of the first and second kind are interchanged between the two posets. Some families of familiar posets such as the poset $\Pi_{n}$ of partitions of the set $\{1,2,3...,n\}$ have Whitney duals. This has been proved by defining a suitable edge labeling $\lambda$ on the edges of the Hasse diagram of $\Pi_{n}$ satisfying certain conditions. Such an edge labeling is called a Whitney labeling and Gonz\'alez D'Le\'on - Hallam proved that every graded poset that admits a Whitney labeling has a Whitney dual. We study the Whitney duality property for two families of operadic posets, finding Whitney labelings and constructing combinatorial descriptions of their Whitney duals. One is known as the family of posets of weighted partitions $\Pi_{n}^k$, studied by Gonz\'alez D'Le\'on and Wachs related to the operad $\mathcal{C}om^k$ of commutative algebras with $k$ totally commutative products, and the other is the family of posets of pointed partitions $\Pi_{n}^{\bullet}$, studied by Chapoton and Vallette associated to the operad $\mathcal{P}erm$ of $\mathcal{P}erm$-algebras. We prove that a labeling, previously defined by Gonz\'alez D'Le\'on, for $\Pi_{n}^k$ is a Whitney labeling and prove that its associated Whitney dual is a poset of colored Lyndon forests. We also find a Whitney labeling for $\Pi_{n}^{\bullet}$ and then use this labeling to show that its associated Whitney dual is a poset of pointed Lyndon forests. For the case $k=2$, it turns out that the families $\Pi_{n}^2$ and $\Pi_{n}^{\bullet}$ have the same Whitney numbers of the first and second kind. Our results imply that there are multiple non-isomorphic Whitney duals for these two families in this case.
Traces in symmetric monoidal categories
(2019-09-13) Jaramillo Díaz, Juan Sebastián; Arias Abad, Camilo; Grupo Interinstitucional de Investigación en Geometría y Topología
The objective of this work is to generalize basic ideas from linear algebra and topology, such as traces and fixed points, into a categorical context. Each of those generalizations has important objects and ideas behind, such as the Thom spectrum and stable homotopy phenomena. Throughout this thesis, we intend to connect those generalizations by means of dualizability, in order to tell a story from both categorical and topological approaches. We then try to go beyond those topics and we study distant but related topics that were born as particular examples of the abstract theory, for instance, the stable homotopy category (example of monoidal category), Atiyah duality (example of dualizability), and the Thom spectrum (example of a dualizable object).
Algoritmos para resolver el problema de rango mínimo para matrices 3-dimensionales y su aplicación a la seguridad de criptosistemas basados en polinomios cúbicos.
(2019-09-13) Buelvas Castellar, Snayder José
El concurso de estandarización post-cuántica propuesto por el NIST (US National Institute of Standards and Technology.) Ha convertido la criptografía post-cuántica en un tema de investigación central. Una familia de primitivas post-cuánticas son los criptosistemas multivariados. En este trabajo, analizamos la seguridad de un criptosistema multivariado conocido como HiRaC frente a un ataque de rango mínimo.
Análisis de un método de Galerkin discontinuo hibridizable para el problema de generación de energía en celdas fotovoltaicas
(2019-07-26) Camargo Mazuera, Liliana Marcela; López Rodríguez, Bibiana (Thesis advisor)
En este documento proponemos un método Galerkin discontinuo hibridizable (HDG) para analizar el problema de absorción y generación de energía en celdas fotovoltaicas. Para aproximarnos gradualmente al problema consideramos tres tipos de problemas en los cuales definimos las ecuaciones de Maxwell en régimen armónico en un dominio no homogéneo y les adicionamos condiciones de frontera y de propagación de onda. Para garantizar que el método HDG propuesto está bien puesto se introduce una condición de no compresibilidad por medio de un multiplicador de Lagrange. Además, para los dos primeros problemas demostramos que el esquema HDG es localmente conservativo, consistente y que tiene una única solución. Posteriormente, para el primer problema verificamos numéricamente los órdenes de convergencia teóricos, los cuales fueron óptimos y los obtuvimos mediante un argumento de dualidad, en el cual usamos operadores de proyección adecuados para deducir estimativos de error en la norma $\mathrm{L}^2$. Para el problema tres que es más cercano a la realidad, realizamos una formulación completa del método HDG y mostramos los primeros pasos de lo que sería un análisis de existencia y unicidad.
Neural networks that express multiple strategies in the video game StarCraft 2
(2019-10-03) González Duque, Miguel; Cabarcas Jaramillo, Daniel
Using neural networks and supervised learning, we have created models capable of solving problems at a superhuman level. Nevertheless, this training process results in models that learn policies that average the plethora of behaviors usually found in datasets. In this thesis we present and study the Behavioral Repetoires Imitation Learning (BRIL) technique. In BRIL, the user designs a behavior space, the user then projects this behavior space into low coordinates and uses these coordinates as input to the model. Upon deployment, the user can adjust the model to express a behavior by specifying fixed coordinates for these inputs. The main research question ponders on the relationship between the Dimension Reduction algorithm and how much the trained models are able to replicate behaviors. We study three different Dimensionality Reduction algorithms: Principal Component Analysis (PCA), Isometric Feature Mapping (Isomap) and Uniform Manifold Approximation and Projection (UMAP); we design and embed a behavior space in the video game StarCraft 2, we train different models for each embedding and we test the ability of each model to express multiple strategies. Results show that with BRIL we are able to train models that are able to express the multiple behaviors present in the dataset. The geometric structure these methods preserve induce different separations of behaviors, and these separations are reflected in the models' conducts. (Tomado de la fuente)

Examinar

Envíos recientes