Predicción espacial de funciones de densidad de probabilidad

Abstract

El analisis de datos composicionales, basado en las ideas de Aitchison (Aitchison, 1986), inspiro la introducción de operaciones y una metrica en el sImplex que lo constituye como un espacio euclídeo (pre-Hilbertiano). Los elementos del simplex o composiciones se interpretan como representantes de clases de equivalencia de vectores proporcionales de componentes positivas. Un ejemplo típico de composiciones son los histogramas de frecuencias, que describen una distribución de probabilidad discreta. La dimensión del simplex de D partes como espacio vectorial es D-1; por tanto, aumentando la dimensión se puede aproximar a un espacio de Hilbert de funciones de densidades de probabilidad con soporte continuo. Un primer resultado, para distribuciones con soporte en un intervalo real, lo desarrollo Egozcue et al. (2006). Las medidas con densidades cuyo logaritmo es de cuadrado integrable constituyen un espacio de Hilbert. Un caso particular del análisis de datos funcionales es cuando las funciones observadas son funciones de densidad de probabilidad, que son también un ejemplo de datos composicionales de dimensión infinita. Este trabajo trata de la predicción de funciones de densidad de probabilidad, cuando se dispone de una muestra de funciones de densidad de una región con continuidad espacial. El propósito es ofrecer una solución al problema de la predicción espacial de funciones de densidad de probabilidad en lugares no muestreados de una región, basado en el análisis de datos funcionales y la estadística espacial. Se propone un predictor que tiene la misma forma que el predictor kriging ordinario clásico, pero teniendo en cuenta las funciones de densidad en lugar de datos de una sola dimensión, el cual está definido en términos de parámetros escalares. Además, se adopta un enfoque no paramétrico basado en la expansión en términos de bases de funciones que se usa para obtener las funciones de densidad partir de datos discretos. / Astract. The analysis of compositional data, based on Aitchison's ideas (Aitchison, 1986), has inspired the introduction of operations and a metric in the simplex, which is transformed in an Euclidian space (pre-Hilbert space). The elements of the simplex or compositions represents equivalence classes of proportional vectors with positive components. A tipical example of such compositions is the histogram of frequencies, which describe a discrete probability distribution. The dimension of the simplex of D parts as a vector space is D - 1; therefore, increasing the dimension, it can be approximated to a Hilbert space of probability density functions with a continuo's support. A first result, for distributions with support in a real interval, was developed by Egozcue et al. (2006). The measures with densities whose logarithm is of square integrable represent a Hilbert space. A particular case of the analysis of functional data is given when the observed functions are probability density functions. They are also an example of compositional data of infinite dimensions. This work treats the problem predicting of probability density functions, when you have a sample of density functions of a region with spatial continuity. The purpose is to provide a solution to the problem of spatial prediction of probability density functions on unsampled places of a region, based on the functional data analysis and the spatial statistics. We propose a predictor that has the same form that the classic ordinary kriging predictor, but considering density functions instead of one dimensional data, which is defined in terms of scalar parameters. We do a nonparametric approach based on expansion in terms of basis functions used to estimate the density functions from discrete data.