Métodos de descomposición en valores singulares para tensores

Abstract

En este texto se considera el problema de obtener aproximaciones de bajo rango para tensores de orden superior, donde en el caso matricial ha sido bien planteado y solucionado a través del truncamiento de la descomposición en valores singulares (SVD-Singular Value Decomposition). Un tensor de orden superior es simplemente un funcional multilineal, el cual establece una generalización al concepto de que toda matriz es una transformación lineal y viceversa. En este texto se describen, explican e interpretan tres generalizaciones multilineales de la SVD, las cuales son la HOSVD, HOOI y SP; y además, se realizan implementaciones numéricas en Matlab de cada una de estas descomposiciones. Finalmente, se presenta una aplicación de descomposición de tensores en reducción de modelos usando la técnica de POD, donde el motivo principal de esta introducción es reducir el número de funciones de base necesarias para obtener soluciones aproximadas de un modelo de gran dimensión. / Abstract: In this paper it is considered the problem of deriving lower rank approximations of higher-order tensor, where in the matrix case is well understood and worked out through the truncating of the SVD. A higher-order tensor is just a multi-lineal functional, which it is a generalization of the concept that any matrix define a linear transformation and vice versa. In this text, we describe, interpret and explain some multilinear generalizations of the SVD, which are HOSVD, HOOI and SP; and besides, we develop numeric rutines in Matlab of each tensor decomposition. Finally, we present an application of tensor decomposition in model reduction with POD approach, where the main idea of this introduction is to reduce the number of base function needed in order to obtain approximated solutions of a large-dimension model.