Reconocimiento de la 3-Esfera

Abstract

El desarrollo de esta tesis consiste en describir el algoritmo de Rubinstein, el cual puede distinguir si una 3-variedad es o no es la 3-esfera. Detallaremos la versión de Matveev para este algoritmo. El algoritmo considera una 3-variedad por medio de la descomposición en asas generadas por una espina especial. Si la 3-variedad es una 3-esfera, un teorema de Rubinstein garantiza la existencia de una 2-esfera 2-normal contenida en la 3-variedad con la propiedad de que en la intersección de esta 2- esfera y al menos una bola (0-asa) de la descomposición en asas aparece al menos un cuadrilátero o un octágono. El algoritmo busca tal 2-esfera y si no la encuentra, se concluye que la 3-variedad no es la 3-esfera. Si se encuentra una tal 2-esfera, se usa para cortar la 3-variedad en varias partes cada una de las cuales es una 3-variedad con \complejidad" menor, y de tal manera que la 3-variedad original es una 3-esfera si y sólo si cada una de las partes es la 3-esfera. Para determinar si una de las partes es la 3-esfera, el algoritmo es aplicado recursivamente, a menos que trivialmente sea la 3-esfera (su espina es un punto)/Abstract. This thesis describes an algorithm by Rubinstein that distinguishes whether a 3- manifold is the 3-sphere or not. We give the details of Matveev's version of this algorithm. The algorithm considers a 3-manifold by means of the handle decomposition generated by a special spine. If the 3-manifold is the 3-sphere, a theorem by Rubinstein guarantees that there is a 2-normal 2-sphere contained in the 3-manifold with the property that in the intersection of this 2-sphere and at least one ball (0- handle) of the decomposition appears a quadrilateral or an octagon. The algorithm looks for such a 2-sphere and if it is not found, it is concluded that the 3-manifold is not the 3-sphere. If such a 2-sphere is found, it is used to cut the 3-manifold into several pieces which are 3-manifolds with smaller \complexity" and such that the original 3-manifold is a 3-sphere if and only if each of the pieces is a 3-sphere. To determine if one of the pieces is the 3-sphere, the algorithm is applied recursively, unless it is trivially the 3-sphere (its spine is a point).