Grupos de Weyl y el juego de Kostant

Abstract

Esta tesis desarrolla un nuevo marco combinatorio en la intersección de la teoría de Lie y la combinatoria algebraica, basado en una generalización del juego de Kostant. El trabajo comienza estableciendo los fundamentos de sistemas de raíces, la clasificación de diagramas de Dynkin y la estructura de los grupos de Weyl. Posteriormente, se analiza el juego de Kostant original como herramienta para generar raíces positivas, demostrando su terminación única en diagramas de lazo simple y su papel en una clasificación alternativa de los mismos.

La contribución principal y que en nuestro conocimiento no había sido estudiada antes es una \textbf{generalización multivértice} del juego que permite modificar múltiples vértices de un diagrama de Dynkin simultáneamente. Se prueba que las configuraciones resultantes de este nuevo juego establecen una biyección natural con los elementos del cociente $W/W_J$ de grupos de Weyl por subgrupos parabólicos. Este formalismo se aplica a problemas en geometría algebraica, particularmente en casos específicos de la conjetura de Mukai mediante polinomios de Hilbert, y se implementa computacionalmente en Java. Los resultados ofrecen nuevas perspectivas combinatorias para estudiar problemas de conteo de raíces, la regularidad de lenguajes de palabras reducidas y la construcción de Tableaux de Young. (Texto tomado de la fuente)

This thesis develops a new combinatorial framework at the intersection of Lie theory and algebraic combinatorics, based on a generalization of the Kostant game. The work begins by establishing the fundamentals of root systems, the classification of Dynkin diagrams, and the structure of Weyl groups. Subsequently, the original Kostant game is analyzed as a combinatorial tool for generating positive roots, demonstrating its unique termination on simply-laced Dynkin diagrams and its role in their alternative classification.

The main contribution, which to the best of our knowledge had not been studied previously, is a \textbf{multivertex generalization} of the game that allows one to modify multiple vertices of a Dynkin diagram simultaneously. It is shown that the configurations resulting from this new game establish a natural bijection with the elements of the quotient $W/W_J$ of Weyl groups by parabolic subgroups. This formalism is applied to problems in algebraic geometry, particularly to specific cases of the Mukai conjecture via Hilbert polynomials, and is implemented computationally in Java. The results provide new combinatorial perspectives for studying problems of root counting, the regularity of languages of reduced words, and the construction of Young tableaux.