Introducción a la topología y geometría diferencial en el lenguaje de sheaves

Abstract

El libro consta de cinco capítulos. El primer capítulo es el preliminar al resto de la obra. En él se desarrollan los preliminares del álgebra multilineal, y se hace un repaso de los conceptos y resultados básicos de topología general y calculo diferencial que serán usados en capítulos posteriores. Este capítulo contiene además una introducción auto-contenida a la teoría de sheaves y espacios anillados. En el segundo capítulo se introducen los objetivos básicos de estudio, los manifolds suaves y sus morfismos y se presentan las construcciones más importantes. En el tercer capítulo se hace un estudio de las propiedades más básicas de los fibrados y sus sheaves de secciones. Los objetivos clásicos de la geometría, campos vectoriales, tensores, formas, etc., se introducen como elementos de la correspondiente sheaf de secciones asociadas a un fibrado. En el cuarto capítulo se hace un estudio de la integración en manifolds y se da una prueba del teorema de Stokes y sus aplicaciones. Se introduce la Cohomología de De Rham, se demuestran sus propiedades básicas, y se da al final una serie de aplicaciones. Se demuestra el teorema de la curva de Jordan, el teorema del punto fijo de Brower y el teorema de invarianza de dominio. En el quinto y último capítulo se introducen los conceptos de la geometría Riemanniana: la métrica, los campos tensoriales, las conexiones afines, la noción de transporte paralelo, de curvatura, etc., y se demuestran algunos de los teoremas clásicos, como el Teorema Egregium de Gauss y el teorema de Levi-Civita. / Abstract: The book has five chapters. The first chapter is preliminary to the rest of the work. It sets out the preliminaries of multilinear algebra, and an overview of the concepts and basic results of general topology and differential calculus to be used in later chapters. This chapter also contains a self-contained introduction to the theory of sheaves and ringed spaces. In the second chapter introduces the basic objectives of the study, the smooth manifolds and their morphisms and presents the most important buildings. The third chapter is a study of the most basic properties of the bundles and their sheaves of sections. The classic targets of geometry, vector fields, tensors, forms, etc., are introduced as elements of the corresponding sheaf of sections associated with a bundle. The fourth chapter is a study of integration in manifolds and give a proof of Stokes' theorem and its applications. We introduce the de Rham Cohomology, their basic properties are shown, and there is finally a variety of applications. It shows the curve theorem Jordan's theorem Brouwer's fixed point theorem and the invariance of domain. In the fifth and final chapter introduces the concepts of Riemannian geometry: the metric tensor fields, connections related the notion of parallel transport, curvature, and so on. And demonstrates some of the classical theorems such as Theorem Egregium Gauss and the theorem of Levi-Civita.