La fórmula del número de clases y valores especiales de funciones L: desde Dirichlet y Dedekind hasta Stark

Abstract

En este trabajo se estudian aplicaciones aritméticas de la teoría de funciones zeta y L, enfatizando la interpretación de sus valores en s = 1 (ó, equivalentemente, en s = 0, vía la ecuación funcional respectiva). Los casos clásicos de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet conducen de manera natural al estudio de la sucesión de los números primos, o de primos en progresiones aritméticas (como hace Dirichlet en su renombrado teorema). El valor en s = 1 de una función L cuadrática de Dirichlet se interpreta a través de su celebrada fórmula de número de clases vía el número de clases y regulador de un cuerpo de números cuadráticos (ó, de manera más clásica, usando formas cuadráticas de un discriminante dado). La fórmula de número de clases más general obtenida por Dedekind se aplica a las funciones zeta que llevan su nombre (y que incluyen la de Riemann). En el capítulo final explicamos de manera general más generalizaciones del concepto de función L así como las conjeturas de Stark que relacionan los valores de aquéllas en s = 0 con una cantidad aritmética profunda conocida como el regulador de Stark asociado a una representación de Galois de un cuerpo de números algebraicos. / Abstract. We study arithmetic applications of the theory of zeta and L-functions with an emphasis on the interpretation of their values at s = 1 (equivalently at s = 0, through the respective functional equation). The classical cases of the Riemann zeta-function and Dirichlet L-functions lead naturally to the study of the sequence of all primes, or of primes in arithmetic progressions (as in Dirichlet’s renown theorem). The value at s = 1 of a quadratic Dirichlet L-function is interpreted through his celebrated Class Number Formula via the class number and regulator of a quadratic number field (or, more classically, using quadratic forms of a given discriminant). The more general class number formula obtained by Dedekind applies to zeta functions named after him (and which include Riemann’s). In a concluding chapter we survey further generalizations of the concept of L-function alongside open conjectures of Stark relating their values at s = 0 with a deep arithmetic quantity known as the Stark regulator attached to a Galois representation of a number field.