Discretización de las Ecuaciones de Maxwell y Yang-Mills

Abstract

El cálculo exterior discreto tiene una gran utilidad en los cálculos que se hacen en algunas teorías que, en principio, son difíciles de efectuar. Pasar de un modelo continuo a un modelo discreto tiene sus ventajas al momento de la comprensión de los sucesos y al momento de la experimentación en la física para corroborar ciertas deducciones teóricas. Pero, ¿cómo conectamos el mundo continuo con el mundo discreto? Para ello definiremos dos funciones importantes: el mapeo de De Rham y el mapeo de Whitney. Estas funciones conectan los objetos más importantes para hacer cálculo en cada teoría, las formas (continuas y discretas). Además en el cálculo exterior discreto tenemos operadores que son análogos a los del cálculo exterior continuo, tal como el producto exterior (el cual no se definirá aquí en la teoría del capítulo 2), el operador estrella de hodge y un producto interno. Por otro lado, encontrar un buen modelo discreto para aplicar todas estas ideas es la tarea importante y clave de este trabajo. Aquí hemos optado por hacer un discretización al plano de forma de un látice. Creamos un análogo de un producto exterior, un análogo del teorema de Stokes, un análogo de la derivada exterior, un análogo del operador estrella de Hodge y un producto interno interesante para concluir dicha discretización conectando con las ecuaciones de Yang-Mills, nuestro principal enfoque. (Tomado de la fuente)

iscrete exterior calculus has great utility in calculations performed in certain theories that are, in principle, difficult to carry out. Transitioning from a continuous model to a discrete model has its advantages when it comes to understanding events and in experimental physics to corroborate certain theoretical deductions. But how do we connect the continuous approach with the discrete approach? To do this, we will define two important functions: the De Rham map and the Whitney map. These functions connect the most important objects for performing calculations in each theory, namely forms (both continuous and discrete). Additionally, in discrete exterior calculus, we have operators that are analogous to those in continuous exterior calculus, such as the exterior product (which will not be defined here in the theory of Chapter 2), the Hodge star operator, and an inner product. On the other hand, finding a good discrete model to apply all these ideas is the important and key task of this work. Here, we have chosen to discretize the plane in the form of a lattice. We create an analogue of the exterior product, an analogue of Stokes' theorem, an analogue of the exterior derivative, an analogue of the Hodge star operator, and an interesting inner product to conclude this discretization, connecting with Yang-Mills equations, our main focus.