The Non-Commutative Brillouin Torus a Non-Commutative Geometry perspective

Abstract

La geometría no conmutativa ha encontrado un campo fértil de ejemplos en la mecánica cuántica y ha proporcionado herramientas matemáticas rigurosas para extraer información topológica y geométrica de esos sistemas. Esta tesis es una incursión en algunas de las herramientas utilizadas por Jean Bellissard y colaboradores para el análisis de materiales homogéneos. Con esto en mente, nuestro primer paso es examinar los objetos utilizados en dicho análisis, que son un par de algebras topológicas diseñadas para extender el ámbito del análisis de Fourier sobre Td al estudio de modelos de enlace fuerte para materiales homogéneos. Estas álgebras se presentan como una generalización de C(Td ) y C ∞(Td ), y se consideran como una variedad suave no conmutativa en el campo de la Geometría No Conmutativa, a las que nos referiremos como el Toro de Brillouin No Conmutativo. Exploramos como diversas técnicas del análisis de Fourier sobre Td pueden ser traducidas al Toro de Brillouin No Conmutativo, por ejemplo, los coeficientes de Fourier y la suma de Fejer, y cómo estas técnicas nos permiten capturar la estructura topológica y suave de dicha variedad suave no conmutativa. En este contexto, la estructura topológica se captura mediante un algebra C*, mientras que la estructura suave se captura mediante un tipo particular de algebra de Fréchet, llamada subálgebra suave. Estos resultados resultan ser los bloques de construcción para la construcción de invariantes topológicos de Hamiltonianos a través de la cohomología cíclica continua de la subálgebra suave. Otra herramienta para estudiar invariantes topológicas de Hamiltonianos es la teoría K de algebras C* y subálgebras suaves. Las subálgebras suaves y las álgebras C* comparten un cálculo funcional similar, lo que implica que las subálgebras suaves contienen suficiente información para estudiar la teoría K de sus algebras C*. Este hecho juega un papel crucial en la identificación de invariantes topológicos de Hamiltonianos. Cuando las condiciones son adecuadas (temperatura cercana a 0 y baja densidad de electrones), es una de las causas subyacentes de la cuantización de la conductividad transversal en materiales homogéneos. Esta es otra tesis sobre Geometría No Conmutativa y aislantes topológicos, sin embargo, creemos que será un recurso útil para los recién llegados al campo (Texto tomado de la fuente).

Non-commutative geometry has found a fruitful field of examples in quantum mechanics and has provided rigorous mathematical tools to extract topological and geometrical information from those systems. This thesis is an incursion into some of the tools used by Jean Bellissard and collaborators for the analysis of homogeneous materials, having this in mind, our first step is to look into the objects used in such analysis, those are a pair of topological algebras devised to extend the realm of Fourier analysis over Td into the study of tight-binding models for homogeneous materials. These algebras come as a generalization of C(Td ) and C ∞(Td ), and are considered as a non-commutative smooth manifold in the field of NonCommutative Geometry, we will refer to them as the Non-Commutative Brillouin Torus. We explore how various techniques from the Fourier analysis over Td can be translated into the Non-Commutative Brillouin Torus e.g. Fourier coefficients and Fejer summation, and those techniques allow us to capture the topological and ´ smooth structure of such non-commutative smooth manifold. In this context, the topological structure is captured by a C* algebra while the smooth structure is captured by a particular type of Frechet algebra, which is called a smooth sub- ´ algebra. These results turn out to be the building blocks for the construction of topological invariants of Hamiltonians through the continuous cyclic cohomology of the smooth sub-algebra. Another tool to study topological invariants of Hamiltonians is the K theory of C* algebras and smooth sub-algebras. Smooth sub-algebras and C* algebras share a similar functional calculus, which implies that smooth sub-algebras contain enough information to study the K theory of their C* algebras. This fact plays a crucial role in the identification of topological invariants of Hamiltonians. When the conditions are right (temperature close to 0 and low electron density), it is one of the underlying causes of the quantization of the transversal conductivity in homogenous materials. This is yet another thesis about Non-Nommutative Geometry and topological insulators, however, we believe that it will be a useful asset for newcomers to the field.