La aritmética modular y algunas de sus aplicaciones
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Autores
Gómez Bello, Moreia
Director
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Español
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Resumen
En este trabajo se hace una revisión de los aspectos históricos, disciplinares, algunas aplicaciones y elementos pedagógicos de la Aritmética Modular.
En el primer capitulo se hace una breve reseña histórica de la Aritmética Modular, introducida por Gauss en 1801; época en la que Gauss público Disquisitiones Arithmeticae; obra en la que define y formaliza la Aritmética Modular junto con otros conceptos de la teoría de números, no todos creaciones de Gauss sino que además en ella el recoge y formaliza los resultados existentes hasta la fecha relacionados con la teoría de números: Aportes realizados por maten áticos como Fermat, Legendre y Euler entre otros. Una parte de este capítulo se dedica a realizar una descripción de Disquisitiones Arithmeticae prestando atención especial a las Secciones I, II, III y IV que tienen gran relevancia en la realización de este trabajo.
En el segundo capítulo se presenta la parte disciplinar del concepto, junto con los elementos de teoría de números y de teoría de grupos que se requieren para comprender algunos de los temas de la Aritmética Modular. Es así como por ejemplo, antes de definir las relaciones de congruencia se da la definición de relaciones de equivalencia y para determinar las propiedades algebraicas de los enteros módulo n se introducen las definiciones de grupo, anillo y campo.
Después de hacer esta descripción conceptual de la Aritmética Modular se presentan en el tercer capítulo aplicaciones de estos elementos conceptuales en otras áreas, como en las artes con los chryzodes, en las tecnologías de la información que mantienen su seguridad en el hecho de que hasta ahora no hay un método que permita la factorización de números grandes de manera eficiente, en el sentido computacional y se presenta también la aplicación de la Aritmética Modular con los calendarios.
En el ultimo capítulo se realiza un breve análisis de las exigencias que desde el Ministerio de Educación se están haciendo con respecto a los procesos de enseñanza-aprendizaje en la educación básica y media revisando los pensamientos, estándares y competencias de matemáticas definidos desde el Ministerio. Luego se presentan los estándares de cada uno de los grupos de grados que podrían ser desarrollados desde actividades relacionadas con la Aritmética Modular y después se revisa cómo la literatura escolar ha abordado uno de los temas de teoría de números relacionados en este trabajo como lo es la clasificación de números Naturales en primos y compuestos, evidenciando la falta de herramientas en la matemática escolar. Finalmente, se propone utilizar las aplicaciones expuestas en este trabajo para ser llevadas al aula junto con los programas Chryzodes y Criptografía diseñados por el profesor Agustín Moreno junto con un grupo de estudiantes de ingeniería de sistemas de la Universidad Nacional de Colombia.
En los anexos A y B se presentan varios ejemplos de chryzodes realizados con software especializados y en los anexos C y D chryzodes producto de algunos talleres realizados con el objeto de motivar el aprendizaje por parte de los estudiantes de conceptos tales como las congruencias módulo un entero fijo y las operaciones entre clases de equivalencias. Estos talleres fueron realizados con diferentes materiales en primer lugar se crearon algunos chryzodes usando lápiz y papel y también se elaboraron chryzodes en puntigramas. En el anexo E se usa el programa Wolfram CDF Player para realizar simulaciones que permiten observar algunas conexiones entre la fitotóxica y la Aritmética Modular. En el anexo F se realiza una pequeña reseña de Kim Peek quien fue uno de los mas destacados savant, quién tenía además la habilidad de aplicar la
fórmula que se presenta en el capítulo 3 para calcular calendarios sin ninguna herramienta de tipo computacional.
Como herramientas pedagógicas se adjuntan a este trabajo los programas: Cryzodes y Criptografía para apoyar el desarrollo de estos temas en el aula de clase. En el anexo H se presenta el manual del usuario del programa Chryzodes
Abstract
The Modular Arithmetic was introduced by Gauss in ¨Disquisitiones Arithmeticae” in 1801, In Modular Arithmetic are structure sets of congruences provided with two operations, induced from the usual Arithmetic in the integers. Some of its applications: chryzodes, calendars, criptography and determination of prime numbers can be studied in the classroom
as encouraging tools