Emparejamientos perfectos, álgebras de conglomerado y algunas de sus aplicaciones

Abstract

The main objective of this work is to study cluster algebras, perfect matchings of a class of particular graphs, and the various relationships that exist between these topics. In order to do this, concepts and results related to the theory of graphs and the theory of representation of quivers are introduced, which are fundamental to carry out a combinatorial and algebraic study of the subject. Subsequently, the concept of cluster algebras is introduced, and some of its applications are presented, such as the construction of the Auslander-Reiten quiver, sequences and diophantine equations, and counting of perfect matchings through continuous fractions in snake graphs. As a result of the previously mentioned study, the solution of a diophantine equation, the counting of matchings in a family of graphs, and the relationship between matchings, Dyck paths, partitions, triangulations of regular polygons and Aztec diamonds are presented. Finally, some conclusions and recommendations are presented that will serve as a basis for defining future research work.

El objetivo principal de este trabajo es estudiar las álgebras de conglomerado, los emparejamientos perfectos de una clase de grafos particulares, y las diversas relaciones que existen entre estos dos temas. Para esto, se introducen conceptos y resultados relacionados con la teoría de grafos y la teoría de representación de carcajes, los cuales son fundamentales para realizar un estudio combinatorio y algebraico del tema. Posteriormente, se introduce el concepto de álgebras de conglomerado, y se presentan algunas de sus aplicaciones, como lo son la construcción del carcaj de Auslander-Reiten, sucesiones y ecuaciones diofánticas, y conteo de emparejamientos perfectos por medio de fracciones continuas en grafos serpiente. Como resultado del estudio previamente mencionado, se presenta la solución de una ecuación diofántica, el conteo de emparejamientos en una familia de grafos, y la relación entre emparejamientos, caminos de Dyck, particiones, triangulaciones de polígonos regulares y diamantes Aztecas. Por último, se presentan algunas conclusiones y recomendaciones que servirán de base para definir un futuro trabajo de investigación.