Conexiones invariantes en espacios homogéneos de baja dimensión

Abstract

Entendemos por espacio homogéneo una variedad dotada de una acción transitiva de un grupo de Lie. Como ejemplos de espacios homogéneos tenemos los espacios euclídeos, afines, proyectivos e hiperbólicos. Entender los espacios homogéneos nos permite entender mejor la geometría. Un espacio infinitesimalmente homogéneo es una variedad (o un gérmen de ella) dotada de una acción infinitesimal transitiva de un álgebra de Lie de dimensión finita. El tercer teorema de Lie [6] nos garantiza que todo es- pacio infinitesimalmente homogéneos es localmente isomorfo a un espacio homogéneo, de donde estudiar estructuras nfinitesimalmente homogéneas es equivalente a estudiar estructuras homogéneas. Las acciones infinitesimales de álgebras de Lie de dimensión finita en gérmenes de variedades de dimensión 2 y 3 compleja fueron clasificados en el siglo XIX por S. Lie en [6]. Posteriormente, Olver et al. [2] presentan la clasificación de acciones de álgebras de Lie de dimensión finita en gérmenes de variedades reales de dimensión 2. Atendiendo la anterior clasificación, es natural preguntarse cuál de estas variedades (gérmenes) infinitesimalmente homogéneas admiten una conexión invariante por la acción infinites- imal del álgebra?. Dar cuenta de este interrogante ha motivado la realización de este trabajo. En él, calculamos para cada una de estas acciones, el espacio (eventualmente vacío) de conexiones invariantes. Para este fin hemos elaborado tres capítulos. En el primer capítulo se desarrollan los preliminares necesarios para el planteamiento del problema, más precisamente, se presenta la teoría básica de fibrados vectoriales, las conexiones lineales con énfasis en las conexiones tangentes. El segundo capítulo está dedicado al estudio de las acciones de grupos y álgebras de Lie. Aquí aparecen las nociones de espacio homogéneo e infinitesimalmente homogéneo. El capítulo 3 contiene los resultados de la investigación. Éste es dedicado al estudio de las acciones infinitesimales sobre las conexiones tangentes. Para tal fin, se introduce la noción de derivada de Lie de una conexión, concepto que puede interpretarse como un caso particular de una teoría mucho más general de la derivada de Lie, desarrollada por Kolár, Slovák y Michor en [4]. Una conexión es invariante por la acción infinitesimal de un álgebra, si y solo si la derivada de Lie de la conexión en la dirección de los campos generadores del álgebra es nula. Así apoyados en la clasificación dada en [2], y en este resultado, podemos encontrar el espacio afín de conexiones invariantes para cada acción. Nuestros resultados exhiben casos en los cuales estos espacios son: vacíos o de dimensión real finita 0,1 , 3, 4 o 8; o módulos libres de rango 1, 3 o 4 sobre el anillo de funciones en una variable.