On the noncommutative geometry of semi-graded rings
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Autores
Chacón Capera, Andrés
Director
Reyes Villamil, Milton Armando
Tipo de contenido
Trabajo de grado - Doctorado
Idioma del documento
InglésFecha de publicación
2022
Título de la revista
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Resumen
En esta tesis, establecemos diversas caracterizaciones topológicas del espectro
no conmutativo de anillos semi-graduados al considerar la noción de topología débil de
Zariski. Con este propósito, formulamos condiciones necesarias o suficientes para garantizar
que familias de estos anillos definidos por endomorfismos y derivaciones sean anillos NI o
anillos NJ. Presentamos resultados sobre la caracterización de diferentes tipos de elementos
de anillos no conmmutativos tales como idempotentes, unidades, von Neumann regulares,
π-regulares, y elementos limpios. También investigamos las nociones de anillo fuertemente
armónico y de Gelfand sobre dichas familias de anillos semi-graduados. Nuestros resultados
generalizan tratamientos desarrollados para anillos conmutativos, anillos de polinomios
torcidos, y variadas familias de anillos N-graduados, y contribuyen a la investigación sobre
estos temas que ha sido llevada a cabo parcialmente en la literatura.
Por otra parte, investigamos la esquematicidad y el teorema de Serre-Artin-Zhang-Verevkin
para anillos semi-graduados. Más exactamente, para los polinomios de Ore de orden superior
generados por relaciones homogéneas y las extensiones torcidas de Poincaré-Birkhoff-Witt,
formulamos condiciones necesarias o suficientes para garantizar la esquematicidad de estas
familias de anillos. Desarrollamos una teoría de esquemas no conmutativa para anillos
semi-graduados que no son necesariamente conexos y N-graduados. Con esta teoría, demostramos el teorema de Serre-Artin-Zhang-Verevkin para diversas familias de álgebras no
N-graduadas que incluyen diferentes clases de anillos no conmutativos que surgen en la
teoría de anillos y la geometría algebraica no conmutativa. Nuestro tratamiento contribuye
a la investigación sobre este teorema desarrollada en la literatura. (Texto tomado de la fuente)
ilustraciones, diagramas
ilustraciones, diagramas
Abstract
In this thesis, we establish several topological characterizations of the noncommutative spectrum of semi-graded rings by considering the notion of weak Zariski topology.
With this aim, necessary or sufficient conditions to guarantee that families of these rings
defined by endomorphisms and derivations are NI or NJ rings are formulated. We present
results about the characterization of different types of elements of noncommutative rings
such as idempotents, units, von Neumann regular, π-regular, and clean elements. We
also investigate the notions of strongly harmonic and Gelfand rings over such families of
semi-graded rings. Our results generalize treatments developed for commutative rings, skew
polynomial rings, and several families of N-graded rings, and contribute to the research on
these topics that has been partially carried out in the literature.
On the other hand, we investigate the schematicness and the Serre-Artin-Zhang-Verevkin
theorem for semi-graded rings. More exactly, for the Ore polynomials of higher order
generated by homogeneous relations and skew Poincaré-Birkhoff-Witt extensions, we formulate necessary or sufficient conditions to guarantee the schematicness of these families
of rings. We develop a noncommutative scheme theory for semi-graded rings that are not
necessarily connected and N-graded. With this theory, we prove the Serre-Artin-ZhangVerevkin theorem for several families of non-N-graded algebras that include different kinds
of noncommutative rings appearing in ring theory and noncommutative algebraic geometry.
Our treatment contributes to the research on this theorem developed in the literature.
Palabras clave
Anillo semi-graduado ; Anillo de polinomios torcidos ; Extensión PBW torcida ; Álgebra esquemática ; Geometría algebraica no conmutativa ; Esquema no conmutativo ; Semi-graded ring ; Skew polynomial ring ; Skew PBW extension ; Schematic algebra ; Noncommutative algebraic geometry ; Noncommutative scheme