¿Puede responderse a la pregunta: “¿cómo los métodos trascendentes trascienden los métodos algebraicos?”?

Abstract

En su acucioso interés por entender el Universo el hombre ha creado sistemas conceptuales como herramientas que lo ayuden en su ingente tarea. Entre los más universales se encuentran las matemáticas. La complejidad de esta ciencia ha crecido tanto que las diferentes definiciones que se dan de ella son cada vez más imprecisas. Sin embargo, en términos generales, podríamos afirmar que las matemáticas se ocupan de conjuntos y de las relaciones entre los elementos de tales conjuntos. Entre los conjuntos que se crearon y a cuyo estudio se aplicaron luego los matemáticos se encuentran los de los números naturales, enteros y racionales. Estos conjuntos surgen como respuesta a los problemas del conteo, de la distinción entre lo que se tiene y lo que se debe, a la necesidad de calcular con cantidades no enteras, entre otros. Este no es el caso de los números irracionales, los cuales no fueron concebidos para resolver algún tipo de problema práctico. El hombre se encontró con ellos muy a su pesar. Según la leyenda a Hipaso de Metaponte, quien descubrió la irracionalidad de 2 , sus compañeros pitagóricos lo ahogaron arrojándolo al mar desde la embarcación en la que se encontraban. 2 aparece de forma natural al encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de lado 1 mediante el teorema de Pitágoras. Además de los elementos las operaciones entre, o sobre, estos también han planteado serios retos a los matemáticos de todos los tiempos. Como ejemplos de ello tenemos los algoritmos para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas o la resolución de ecuaciones de grados 3 y 4. De la misma manera que la resolución de cierto tipo de problemas hizo necesaria la ampliación de los diversos conjuntos de números también las operaciones con estos, o con otros elementos como las funciones, hizo necesaria la ampliación de los conjuntos de operaciones que se empleaban. Este trabajo presenta una exposición de resultados y enfoques muy puntuales acerca de dos entes matemáticos concretos: los números y las operaciones trascendentes. Conocido el hecho de que los números reales constituyen un conjunto no numerable y que los racionales en cambio sí lo son, deducimos, de manera inmediata, la no numerabilidad de los irracionales.