Construcción hamiltoniana de sistemas tipo Vlásov-Maxwell por reducción simpléctica

Abstract

En este proyecto estudiamos la metodología para convertir las conocidas ecuaciones de Vlásov-Maxwell en un sistema Hamiltoniano relativo a un corchete de Poisson. Primero, introducimos las ecuaciones de Vlasov-Maxwell como un modelo para describir las interacciones físicas en un plasma. Luego, revisaremos el formalismo matemático de la mecánica clásica, específicamente el de los sistemas hamiltonianos. Comenzaremos con una motivación sobre la importancia de los sistemas hamiltonianos tanto en física como en matemáticas, y a continuación usaremos algunos resultados básicos de la geometría simpléctica para describir sistemas hamiltonianos, allí el concepto de corchete de Poisson aparecerá de manera natural. Posteriormente, abordaremos el problema de construir nuevas estructuras simplécticas a partir de una variedad simpléctica, lo cual no siempre es posible en general; el teorema de reducción de Marsden-Weinstein nos indicará bajo qué circunstancias es factible. Una vez que sea discutido el teorema de reducción simpléctica, exploraremos cómo este resultado puede ayudar a reducir sistemas mecánicos con simetría. En el siguiente paso, toda la maquinaria de la geometría simpléctica y la reducción se aplicará para construir un corchete de Poisson, físicamente adecuado, para las ecuaciones de Vlásov-Maxwell. Finalmente, haremos los ajustes necesarios para extender estos resultados al álgebra de Lie sl(2), obteniendo un nuevo conjunto de ecuaciones que tiene una estructura similar a las ecuaciones de Vlásov-Maxwell. Despues de ello trataremos de generalizar el resultado para cualquier álgebra de Lie de dimensión 3. (Texto tomado de la fuente).

In this project, we study the methodology to transform the well-known VlásovMaxwell equations into a Hamiltonian system relative to a Poisson bracket. First, we introduce the Vlasov-Maxwell equations as a model to describe physical interactions in a plasma. After that, we will review the mathematical formalism of classical mechanics, specifically Hamiltonian systems, we will start with a motivation of the importance of Hamiltonian systems in physics and mathematics, and following that we will present some basic results of symplectic geometry used to describe Hamiltonian systems, the concept of Poisson bracket will naturally appear in this description. Subsequently, we will deal with the problem of constructing new symplectic structures from a symplectic manifold, which is not always possible in general, the Marsden-Weinstein reduction theorem will tell us under which circumstances it is possible. Once symplectic reduction is addressed, we will see how this theorem can help to reduce mechanical systems with symmetry. In the next step, all the symplectic geometry and reduction machinery will be applied to construct a physically adequate Poisson bracket for Vlásov-Maxwell equations. Finally, we will make the necessary adjustments to extend these results for the sl(2,R) Lie algebra, we will get a new set of equations that have a similar structure to the Vlásov Maxwell equations.