Performance of meshfree methods in approximations with diffuse derivatives

Abstract

The study and solution of partial differential equations (PDEs) is a central field in the mathematical analysis. In the numerical context the mesh free approximation methods arise as an alternative to the conventional techniques that require some kind of mesh to the realization of the approximations. In cases where it has relatively complex eometries (as domains with discontinuities) traditional methods are difficult to implement. Therefore the objective of the mesh free methods is, in part, to remove these difficulties. In this thesis we focus our attention into the study of the Element Free Galerkin method (EFG) coupled with approximations with diffuse derivative, for the solutions of (PDEs) problems. In the first part of this work, we show the known theoretical results (convergence theorems and convergence orders) with original proves based on existing work and corroborate them numerically for classic PDEs problems. The second part of this thesis consists on the numerical solution and convergence analysis of the EFG method for problems that involves fractional operators and discontinuous geometries. The obtained results are compared with theoretical information and the unexpected events are discussed and justified.

Resumen: El estudio y la solución de ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) es un campo central en el análisis matemático. En el contexto numérico, las aproximaciones libres de malla surgen como una alternativa a las técnicas tradicionales que requieren algún tipo de mallado para la realización de las aproximaciones. En casos donde se tengan geometrías relativamente complejas (como dominios con discontinuidades), los métodos tradicionales son difíciles de implementar. Por tanto, el objetivo de los métodos libres de malla es remover en parte dichas dificultades. En esta tesis, nos enfocamos en el estudio del método de Galerkin libre de elementos (EFG, por sus siglas en inglés) acoplado con aproximaciones con derivada difusa, para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. En la primera parte de éste trabajo, mostramos los resultados teóricos (teoremas de convergencia y órdenes de convergencia), con pruebas originales basadas en trabajos conocidos y los corroboramos numéricamente para problemas clásicos. La segunda parte de éste escrito, consiste en la solución numérica y desarrollo de análisis de convergencia del método (EFG) para problemas que involucran operadores fraccionarios y geometrías discontinuas. Los resultados obtenidos se comparan con la información teórica y los eventos inesperados, se analizan y se justifican.