Modelado del VIH/SIDA : estrategias de control para la enfermedad

Abstract

En la presente tesis se describen, se estudian y analizan dos modelos matemáticos para estudiar la dinámica de la propagación del Virus de la Inmunodeficiencia Humana (VIH) en el organismo humano. El primer modelo estudia la dinámica de la propagación del virus sin el efecto de fármacos antirretrovirales, en base a lo anterior, se propone y se describe el segundo modelo que incluye el efecto de la combinación de dos terapias antirretrovirales en la dinámica del virus. En cuanto a los dos modelos, se lleva a cabo un análisis exhaustivo del comportamiento cualitativo de estos. Se prueba el buen planteamiento de los dos modelos, esto en el sentido de la positividad, existencia y unicidad de las soluciones, por medio de conjuntos invariantes. Además se derivan los dos estados de equilibrio para ambos modelos, el estado de equilibrio libre de enfermedad y del enfermo crónico; las condiciones de estabilidad local y global de los estados de equilibrio se determinan utilizando el número reproductivo básico, obtenido por el método de la matriz de próxima generación. También, se emplean simulaciones numéricas para evaluar y comparar el impacto que tiene el efecto de los tratamientos antirretrovirales respecto al no tratamiento tanto en la carga viral como en la recuperación de las células del sistema inmunológico. Los resultados muestran que un aumento en la eficacia de los inhibidores reduce significativamente el tiempo necesario para alcanzar el estado libre de enfermedad, destacando la importancia de combinar terapias para lograr mejores resultados clínicos. Finalmente se modifica el modelo con las dos terapias combinadas agregando un problema de control óptimo, con la novedad de que las eficacias de los fármacos antirretrovirales no son constantes si no que ahora son variables en el tiempo. Se concluye que la terapia con el control óptimo reduce la carga viral y aumenta el conteo de las células inmunitarias de la mejor forma posible, reduciendo al máximo el costo que incluye el tratamiento (Texto tomado de la fuente).

This thesis describes, studies, and analyzes two mathematical models for examining the dynamics of Human Immunodeficiency Virus (HIV) propagation within the human body. The first model studies the dynamics of viral spread without the effect of antiretroviral drugs. Based on this, the second model is proposed and described, incorporating the effect of a combination of two antiretroviral therapies on viral dynamics. For both models, a thorough qualitative analysis of their behavior is conducted. The well-posedness of the two models is demonstrated in terms of positivity, existence, and uniqueness of solutions, using invariant sets. Additionally, two equilibrium states are derived for each model: the disease-free equilibrium and the chronic infection equilibrium. The local and global stability conditions of these equilibrium states are determined using the basic reproduction number, obtained through the next-generation matrix method. Numerical simulations are also employed to assess and compare the impact of antiretroviral treatments versus no treatment on both viral load and immune system cell recovery. The results show that an increase in inhibitor efficacy significantly reduces the time required to reach the disease-free state, highlighting the importance of combining therapies to achieve better clinical outcomes. Finally, the model with the two combined therapies is modified by introducing an optimal control problem, with the novelty that the efficacy of antiretroviral drugs is no longer constant but varies over time. It is concluded that therapy with optimal control reduces viral load and increases immune cell count in the best possible way, minimizing treatment costs to the greatest extent.