Estudio de un modelo de difusión no local generalizado con frontera mixta

Abstract

In this work, we study a generalized nonlocal diffusion model with mixed boundary conditions. This model, motivated by the need to describe diffusion phenomena with longrange (nonlocal) interactions, extends previous formulations by incorporating integral terms both in the interior of the domain and along its boundary to represent heterogeneous boundary conditions. The problem is mathematically formulated through a parabolic integro-differential equation: a volume term with kernel J(x − y) models nonlocal diffusion inside the region, while boundary terms with kernels Gi(x, y) and data gi(y,t) on parts of the boundary represent the nonlocal interaction through the boundary (mixed conditions). We rigorously prove the existence and uniqueness of the solution in an appropriate function space, using fixed point techniques and a nonlocal comparison principle. In addition, we analyze the asymptotic behavior of the solutions: under stationary boundary conditions (i.e., data gi independent of time), the solution converges to a unique steady state as t → ∞. Furthermore, we propose a numerical discretization of the model (a generalized finite difference scheme), and we establish consistency and convergence results, ensuring that the discrete solution approximates the continuous one as the mesh is refined. (Texto tomado de la fuente)

En el presente trabajo se estudia un modelo de difusión no local generalizado con condiciones de frontera mixtas. Este modelo, motivado por la necesidad de describir fenómenos de difusión con interacciones a distancia (no locales), extiende formulaciones previas incorporando términos integrales tanto en el interior del dominio como en su frontera para representar condiciones de contorno heterogéneas. Se plantea matemáticamente el problema mediante una ecuación integro-diferencial parabólica: un término de volumen con núcleo J(x−y) modela la difusión no local dentro de la región, mientras que términos de frontera con núcleos Gi(x, y) y datos gi(y,t) en porciones de la frontera representan la interacción no local a través de la frontera (condiciones mixtas). Se demuestran rigurosamente la existencia y unicidad de la solución de este modelo en el espacio de funciones adecuado, utilizando técnicas de punto fijo y un principio de comparación no local. Asimismo, se analiza el comportamiento asintótico de las soluciones: bajo condiciones estacionarias en la frontera (datos gi independientes del tiempo), la solución converge hacia una única solución estacionaria conforme t → ∞. Adicionalmente, se propone una discretización numérica del modelo (esquema de diferencias finitas generalizado) y se establecen resultados de consistencia y convergencia, garantizando que la solución discreta aproxima correctamente a la continua al refinar la malla. (Texto tomado de la fuente)