Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas de campos

Abstract

Esta tesis aborda la estructura matemática de las teorías cuánticas de campos (QFTs), partiendo de una base sólidas en las teorías clásicas de campos. Se comienza con una revisión de los conceptos fundamentales de las teorías clásicas, incluyendo las ecuaciones de EulerLagrange, la geometría diferencial del espacio de campos, y las simetrías en teorías clásicas de campos, incluyendo el importante teorema de Noether y sus consecuencias. A partir de aquí, se hace explica cómo se pueden construir QFTs a partir de teorías clásicas de campos. Se explora la integral de caminos de Feynman incluyendo su derivación heurística. Por último se analiza una QFT en dimensión cero, un caso simplificado en el que es posible definir todo formalmente y que permite explorar aspectos generales de las QFTs: la teoría ϕ 4. Se introduce la idea de la regla de Wick y los diagramas de Feynman, para explotar las propiedades combinatorias de la teoría. (Tomado de la fuente)

This thesis addresses the mathematical structure of quantum field theories (QFTs), starting from a solid foundation in classical field theories. It begins with a review of the fundamental concepts of classical theories, including the Euler–Lagrange equations, the differential geometry of field space, and symmetries in classical field theories, notably Noether’s theorem and its consequences. From there, it explains how QFTs can be constructed from classical field theories. Feynman’s path integral is explored, including its heuristic derivation. Finally, a QFT in zero dimensions is analyzed—a simplified case in which everything can be formally defined and which allows for the exploration of general aspects of QFTs: the ϕ⁴ theory. The idea of Wick’s rule and Feynman diagrams is introduced to exploit the combinatorial properties of the theory.