Relación entre la teoría de grado y la teoría de puntos críticos

Abstract

El objetivo del presente trabajo es estudiar la relación entre la teoría de grado y la teoría de puntos críticos. Teorías estas que han demostrado ser herramientas muy útiles en el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales. La teoría de grado ha sido ampliamente utilizada en el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales, por medio de ella se han desarrollado métodos que permitan obtener información sobre la existencia, el número de soluciones y la naturaleza de las soluciones. La teoría de existencia, el número de soluciones y la naturaleza de las soluciones. La teoría de bifurcación, por ejemplo, constituye hoy en día un área de investigación amplia que se apoya fuertemente en la teoría de grado para su desarrollo. También, la teoría de grado permite obtener teoremas de punto fijo, de gran importancia en las aplicaciones. La teoría de puntos críticos constituye otra herramienta importante en el estudio de ecuaciones diferenciales, ya que en muchas aplicaciones encontrar la solución de una ecuación diferencial se reduce a encontrar los puntos críticos de un funcional asociado con la ecuación. Existen al menos dos clases de métodos para encontrar puntos críticos de funcionales: la teoría de mínimas y la teoría de Morse. La teoría de mínimas se inicio con los trabajos de Ljusternik y Schnirelman en 1929 y tiene como uno de sus principales resultados el denominado Teorema del paso de la montaña, el cual será de gran utilidad en el presente trabajo. La teoría de Morse constituye una aproximación hacia una teoría global de puntos críticos, se inicio con los trabajos de Morse en 1934 y tiene en el llamado Lema de Morse una de sus principales herramientas, el cual nos será de mucha utilidad en la investigación del grado de un punto critico del tipo paso de la montaña. En este trabajo se presentan dos teoremas, los teoremas A y B, que muestran una interesante relación existente entre la teoría de grado y la teoría de puntos críticos. El primer teorema establece que el grado del gradiente de un cierto funcional en un punto critico es uno, y el segundo teorema que estudiaremos nos permite calcular el grado en un punto crítico del tipo paso de la montaña.