Some remarks about the fusible property of noncommutative polynomial extensions

Abstract

In this work, we focus on three objectives: first, we investigate fusible property on skew PBW extensions, recognizing conditions that guarantee the property for this family of algebras. Later, we turn our attention to the study of two very important ring families: the weak $\Sigma$-rigid rings defined by Reyes et al., [2018] and $(\Sigma, \Delta)$-compatible rings introduced by Hashemi et al., [2017] and Reyes et al., [2018], respectively. We establish several results that characterize some important elements such as units, nilpotents, idempotents and zero divisors in skew PBW extensions over $(\Sigma, \Delta)$-compatible rings. We extend some descriptions of these elements for skew polynomial rings presented by Hashemi et al., [2017]. The study of these elements leads us to find a more general notion of annihilator, for which we investigate analogous properties to those that define the Baer, quasi-Baer, p.p and p.q.-Baer rings, extending some results presented by Ouyang et al., [2012]. Finally, having in mind a more general concept of associated prime ideal presented by Ouyang et al., [2012], we study this generalization of the associated primes and eventually characterize these ideals in skew PBW extensions over $(\Sigma, \Delta)$-compatible rings.

En el presente trabajo, nos enfocamos en tres objetivos: primero, investigamos acerca de la propiedad fusible sobre extensiones PBW torcidas, reconociendo condiciones suficientes que garanticen dicha propiedad para esta familia de álgebras. Después, centramos nuestra atención en el estudio de dos familias de anillos muy importantes: los anillos débil $\Sigma$-rígidos definidos por Reyes et al., [2018] y los anillos $(\Sigma, \Delta)$-compatibles introducidos por Hashemi et al., [2017] y Reyes et al., [2018], respectivamente. Establecemos resultados que caracterizan algunos elementos importantes como unidades, nilpotentes, idempotentes y divisores de cero en extensiones PBW torcidas sobre anillos $(\Sigma, \Delta)$-compatibles. Extendemos de esta forma algunas descripciones de estos elementos en anillos de polinomios torcidos presentadas por Hashemi et al., [2017]. El estudio de estos elementos nos lleva a encontrarnos con una noción más general de anulador para la cual investigamos propiedades análogas a las que definen a los anillos de Baer, quasi-Baer, p.p and p.q.-Baer en extensiones PBW torcidas, extendiendo algunos resultados presentados por Ouyang et al., [2012]. Finalmente, teniendo en mente un concepto más general de ideal primo asociado presentado por Ouyang et al., [2012], estudiamos esta generalización de los primos asociados y eventualmente caracterizamos dichos ideales en extensiones PBW torcidas sobre anillos $(\Sigma, \Delta)$-compatibles.