Regularización, problemas inversos y derivadas fraccionarias

Abstract

En la primera parte de esta tesis nos referimos a problemas inversos, regularización y derivadas fraccionarias. Con respecto a los dos primeros temas, nos concentramos en problemas inversos de conducción de calor y regularización por los métodos de Tikhonov y molificación discreta. Estos temas sirven de introducción a la segunda parte de la tesis, en la que abordamos el estudio teórico y numérico de problemas inversos enunciados a partir de ecuaciones de difusión y ecuaciones de advección-dispersión que involucran derivadas temporales fraccionarias de Caputo. En la última parte de la tesis incluimos material original que logramos obtener para el estudio de un problema inverso unidimensional para una ecuación de advección-dispersión con derivada temporal fraccionaria. Demostramos que el problema inverso es mal condicionado y proponemos un esquema de diferencias finitas de marcha en el espacio, que utiliza molificación discreta como técnica de regularización. Incluimos estimativos de error y ejemplos numéricos ilustrativos.

Abstract: In the first part of this thesis we introduce inverse problems, regularization and fractional derivatives. With respect to the first two topics, we focus our attention on inverse heat conduction problems and regularization by the method of Tikhonov and the method of discrete mollification. These ideas are the first steps toward the second part of the thesis, in which we consider theoretical and numerical aspects of inverse problems based on diffusion equations and advection-dispersion equations involving Caputo's time partial fractional derivatives. In the last part of the thesis we include original material that we obtained for the study of a unidimensional inverse problem for an advection-dispersion equation with time fractional derivative of Caputo type. We show that the inverse problem is ill-posed and thus any numerical solution must include some regularization technique. Our approach is a finite difference space marching scheme enhanced by adaptive discrete mollification. Error estimates and illustrative numerical examples are provided.