On Whitney duals of operadic posets

Abstract

The notion of a Whitney dual for a graded partially ordered set (poset) $P$ with a minimum element $\hat{0}$ has been introduced recently by Gonz\'alez D'Le\'on and Hallam with some interesting connections to other areas of algebra and combinatorics. We say that two posets are Whitney duals to each other if (the absolute value of) their Whitney numbers of the first and second kind are interchanged between the two posets. Some families of familiar posets such as the poset $\Pi_{n}$ of partitions of the set $\{1,2,3...,n\}$ have Whitney duals. This has been proved by defining a suitable edge labeling $\lambda$ on the edges of the Hasse diagram of $\Pi_{n}$ satisfying certain conditions. Such an edge labeling is called a Whitney labeling and Gonz\'alez D'Le\'on - Hallam proved that every graded poset that admits a Whitney labeling has a Whitney dual.

We study the Whitney duality property for two families of operadic posets, finding Whitney labelings and constructing combinatorial descriptions of their Whitney duals. One is known as the family of posets of weighted partitions $\Pi_{n}^k$, studied by Gonz\'alez D'Le\'on and Wachs related to the operad $\mathcal{C}om^k$ of commutative algebras with $k$ totally commutative products, and the other is the family of posets of pointed partitions $\Pi_{n}^{\bullet}$, studied by Chapoton and Vallette associated to the operad $\mathcal{P}erm$ of $\mathcal{P}erm$-algebras. We prove that a labeling, previously defined by Gonz\'alez D'Le\'on, for $\Pi_{n}^k$ is a Whitney labeling and prove that its associated Whitney dual is a poset of colored Lyndon forests. We also find a Whitney labeling for $\Pi_{n}^{\bullet}$ and then use this labeling to show that its associated Whitney dual is a poset of pointed Lyndon forests. For the case $k=2$, it turns out that the families $\Pi_{n}^2$ and $\Pi_{n}^{\bullet}$ have the same Whitney numbers of the first and second kind. Our results imply that there are multiple non-isomorphic Whitney duals for these two families in this case.

Título: Duales de Whitney de posets operadic.

González D'León y Hallam introdujeron recientemente la noción de duales de Whitney para un conjunto parcialmente ordenado (poset) graduado $P$ con un elemento mínimo $\hat{0}$ con algunas conexiones interesantes a otras áreas del álgebra y la combinatoria. Decimos que dos posets son duales de Whitney entre sí, si (el valor absoluto de) sus números de Whitney del primer y segundo tipo se intercambian entre los dos posets. Algunas familias de posets familiares como el poset $\Pi_{n}$ de particiones del conjunto $\{1,2,3 ..., n \}$ tienen duales de Whitney. Esto se ha demostrado definiendo un etiquetamiento adecuado $\lambda$ en las aristas del diagrama de Hasse de $\Pi_{n}$ que satisface ciertas condiciones. A tal etiquetamiento de aristas se le llama etiquetamiento de Whitney y González D'León - Hallam demostraron que todo poset graduado que admite un etiquetamiento de Whitney tiene un dual de Whitney.

Estudiamos la propiedad de dualidad de Whitney para dos familias de posets operadicos, por medio de etiquetamientos de Whitney y de la construcción de descripciones combinatorias de sus duales de Whitney. Una de las familias es la familia de posets de particiones con pesos $\Pi_{n}^k$, estudiadas por González D'León y Wachs, relacionadas con el operad $\mathcal{C}om^k$ de álgebras conmutativas con $k$ productos totalmente conmutativos, y la otra es la familia de posets de particiones punteadas $\Pi_{n}^{\bullet}$, estudiadas por Chapoton y Vallette asociadas al operad $\mathcal{P}erm$ de $\mathcal{P}erm$-álgebras. Demostramos que un etiquetamiento, previamente definido por González D'León, para $\Pi_{n}^k$ es un etiquetamiento de Whitney y demostramos que su dual de Whitney asociado es un poset de bosques de Lyndon coloreados. También encontramos un etiquetamiento de Whitney para $\Pi_{n}^{\bullet}$ y luego usamos este etiquetamiento para mostrar que su dual de Whitney asociado es un poset de bosques de Lyndon punteados. Para el caso $k=2$, resulta que las familias $\Pi_{n}^2$ y $\Pi_{n}^{\bullet}$ tienen los mismos números de Whitney del primer y segundo tipo. Nuestros resultados implican que hay múltiples duales de Whitney no isomorfos entre sí para estas dos familias en este caso.