Enfoque galoisiano de la ecuación de Schrödinger con potenciales polinomiales y polinomios de Laurent

Abstract

En este trabajo se estudia bajo que condiciones es posible encontrar integrabilidad en sentido Liouville para la ecuación de Schrödinger cuyos potenciales, en este caso polinomios de Laurent, poseen parámetros en sus coefientes. Se introduce una serie de teoremas basados en el algoritmo de Kovacic que nos permiten analizar el problema anterior, encontrando entre otras cosas, una aproximación a generar potenciales polinomiales cuasi-resolubles de cualquier grado, un criterio de no integrabilidad para potenciales polinomios de Laurent. También hemos descrito explicitamente las soluciones Liouvillianas con potenciales conocidos, e.g., el oscilador armónico perturbado y extendido el número de soluciones conocidas del potencial de Morse. Por otra parte, se demuestra que la integrabilidad Liouvilliana de ecuaciones de Schrödinger con potencial polinomio de Fourier es equivalente a la integrabilidad Liouvilliana de determinada ecuación tipo Schrödinger con potencial polinomio de Laurent.

Abstract. In this work we study under what conditions on the potential parameters it is possible to find Liouvillian integrability to the Schrödinger equation with Laurent polynomial potentials. We introduce a series of theorems consequence of Kovacic's algorithm in order to deal with our main problem, this tools allow us to determine, among others, an approximation to generate quasi-solvable polynomial potentials of any degree, a non-integrability criterion for Laurent polynomial potentials. we also have explicitly described Liouvillian solutions to the associated Schrödinger equation of well known potentials as the perturbed harmonic oscillator, we also have extended the number of known Liouvillian solutions to the Morse potential. On the other hand, we show that the Liouvillian integrability of Schrödinger equations with Fourier polynomial potentials is equivalent to the integrability of some Schrödinger-type equation with Laurent polynomial potential.