Series de Poincaré Multivariable de singularidades de curvas algebraicas y análisis p-ádico

Abstract

Resumen: a pesar de haber pasado más de cien años de su nacimiento, estos números aun hoy siguen envueltos en un aura de misterio dentro de la comunidad científica. Una de las grandes motivaciones para estudiar dicho sistema numérico es su intrincada topología, en donde por ejemplo, las bolas son onjuntos abiertos y cerrados y cualquier punto en ella puede ser su centro. Su riqueza algebraica también hace de los números p-ádicos campo atractivo, por ejemplo la completación algebraica de los números p-ádicos es una extensión algebraica de grado infinito, haciendo que no sea localmente compacto. Parte de este trabajo trata de desenvolver sus propiedades analíticas, topológicas y algebraicas. Las conexiones entre las extensiones algebraicas de los números p-ádicos y los campos finitos de característica prima p, hacen pensar que definiciones y resultados de la geometría algebraica sobre campos finitos pueden tener análogos en los campos p-ádicos.Es así como en este trabajo estudiamos las series de Poincaré Multivariable P(a; b; t) asociada a un anillo local O, de una curva algebraica singular X definida sobre un campo finito Fq. Dicha serie se puede expresar como una integral usando la medida de Haar b sobre el anillo de fracciones de la completacion de e O, donde e O es la clausura entera de O, ya que dicho anillo de fracciones resulta ser locamente compacto.