Existencia y propiedades cualitativas de las soluciones para problemas elípticos no lineales

Abstract

El propósito de este trabajo consiste en estudiar la existencia y ciertas propiedades cualitativas de las soluciones del problema semilineal con un dominio suave y acotado. Las propiedades cualitativas que nos proponemos estudiar se relacionan, básicamente, con el índice de Morse y los grupos críticos por un lado, y el cambio de signo de las soluciones por el otro. En este sentido, en el Capítulo 2, probamos la existencia de una solución cuyo índice de Morse aumentado es grande en un sentido que se precisara mas adelante. Además, usando información acerca de los grupos críticos, bajo condiciones adicionales demostramos la existencia de tres soluciones. Este resultado mejora el teorema de J. Cossio y S. Herrón y el teorema de J. Cossio y C. Vélez. Nuestros desarrollos en este capitulo provienen de resultados esencialmente establecidos por A. Laser y S. Solimini. En el capitulo 3, consideramos un problema bajo una hipótesis adicional. En este contexto, se puede aplicar el Método de Reducción de Lyapunov-Schmidt. En la sección 3.1, usando algunas ideas de A. Castro y A. Lazer demostramos un resultado de invariancia de índice de Morse bajo reducción que nos permite, en la Sección 3.2, complementar los resultados de A. Castro y J. Cossio. En particular, quedan establecidos la existencia de una solución de índice de Morse aumentad igual a k y el hecho de que, si esta solución cambia de signo, existe otra solución del problema que también cambia de signo. Finalmente, en el Capítulo 4 demostramos que, bajo condiciones adecuadas, la soluciones de índice de Morse aumentando grande, obtenidas en los capítulos anteriores, cambian de signo. Aplicaremos diversas técnicas tales como Grupos Críticos, Teoría de Grado de Leray-Schauder, estimativos a priori y Teoría de puntos críticos, en particular el Teorema del Paso de la Montaña y el Método de Reducción de Lyapunov-Schmidt. Puesto que varios de los teoremas de estas técnicas que emplearemos lo exigen, en adelante supondremos que los puntos críticos de J son aislados.