Doctorado en Ciencias - Matemáticas

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Categorification of Chern-Weil theory and equivariant cohomology
(Universidad Nacional de Colombia, 2022-06-28) Pineda Montoya, Santiago; Quintero Vélez, Alexander; Arias Abad, Camilo; Arias Abad, Camilo [0000-0003-3624-9396]
Esta tesis contempla la generalización de resultados de geomtría diferencial clásica en el contexto de los sistemas locales homotópicos. En particular, se realiza la construcción del homomorfismo de Chern-Weil y el teorema equivariante de de Rham en el contexto de las categorias diferenciales graduadas conformadas por los sistemas locales homotópicos. (Texto tomado de la fuente)
Homeomorfismos finales periódicos y Pseudo-Anosov generalizados.
(Universidad Nacional de Colombia, 2021) Giraldo Galeano, Oscar Iván; Rodríguez Nieto, José Gregorio
El objetivo de este trabajo es probar que las laminaciones invariantes bajo un homeomorfismo final periódico f induce una estructura compleja en la superficie. Y para esto, se pasa de laminaciones medibles a foliaciones con singularidades y con medidas transversales. Luego se usa la estructura Euclidiana inducida por las foliaciones para encontrar una estructura conforme. Por último se prueba que f es una función Pseudo Anosov generalizada en el sentido de [deC-H1]. En particular, se prueba que un diferencial cuadrático asociado a las foliaciones tiene área finita. Además se presentan ejemplos particulares del teorema central. (Texto tomado de la fuente)
Fractional differential equations and inverse problems.
(Universidad Nacional de Colombia, 2020) Echeverry Franco, Manuel Danilo; Mejía-Salazar, Carlos Enrique; Computación Científica
Our goal is the study of identiﬁcation problems in the framework of transport equations with fractional derivatives. We consider time fractional diﬀusion equations and space fractional advection dispersion equations. The majority of inverse problems are ill-posed and require regularization. In this thesis we implement one and two dimensional discrete molliﬁcation as regularization procedures. The main original results are located in chapters 4 and 5 but chapter 2 and the appendices contain other material studied for the thesis, including several original proofs. The selected software tool is MATLAB and all the routines for numerical examples are original. Thus, the routines are part of the original results of the thesis. Chapters 1, 2 and 3 are introductions to the thesis, inverse problems and fractional derivatives respectively. They are survey chapters written speciﬁcally for this thesis.
Some homotopical aspects of de Rham theory
(2020-07-01) Vélez Vásquez, Sebastián; Quintero Vélez, Alexander; Arias Abad, Camilo
El estudio de las propiedades topológicas de las variedades suaves desde el punto de vista de formas diferenciales y de las ecuaciones que dichas formas satisfacen es conocido como teoría de de-Rham. Invariantes topológicos de variedades tales como los grupos de cohomología y las clases características se pueden describir naturalmente en el lenguaje de de-Rham. Esta tesis trata con invariantes de tipo categórico que también pueden ser descritos en términos de formas diferenciales. Adoptamos el punto de vista de la teoría de representaciones, donde se estudian grupos mediante sus acciones lineales en espacios vectoriales. En topología, las correspondientes acciones lineales son llamadas sistemas locales infinitos, los cuales son el objeto de estudio de esta tesis. Describimos cómo varios aspectos de la teoría de de-Rham se pueden categorificar, lo que conlleva al estudio de sistemas locales. Una nueva característica que emerge en este contexto es la necesidad de reemplazar la noción de asociatividad estricta por una noción de asociatividad compatible con los métodos de teoría de homotopía. Esta nueva noción de asociatividad está codificada en las estructuras A-infinito, que son estructuras algebraicas donde la asociatividad solo se cumple salvo una secuencia infinita de homotopías.
Transitionally commutative bundles and characteristic classes
(2020-06-01) Cepeda Dávila, Mauricio; Gómez Guerra, Jóse Manuel; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
Let p : E ! M be a principal G-bundle, over a manifold M. Assume that we can nd an open cover of M together with trivializations over them in such a way that the corresponding transition functions commute with each other whenever they are simultaneously de ned. Such data de nes a transitionally commutative (TC) structure on the principal bundle. (We make this precise in Chapter 1.) In this thesis we developed characteristic classes for TC structures by using an algebraic-geometric method. For this we rst obtain generators of the cohomology with real coe cients of the classifying space for TC structures over principal G-bundles, a space known as BcomG. We then show that such cohomology is in one to one correspondence with TC characteristic classes. Next, we show how to use Chern-Weil theory to compute the TC characteristic classes for each of these generators. This is done through what we call the k-th associated bundle of the TC structu re. After developing this theory, we illustrate in some explicit examples how this can be applied. Additionally, we show that BcomGLn (R) can be obtained, up to homotopy equivalence, as a subspace of the Grassmanians.
Singularidades aisladas en funciones armónicas de valor complejo
(2020-06-19) Rivera Serna, Jheison Alfonso; Arbeláez Pulgarín, Hugo Javier; Arango Escalante, Juan Humberto; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
The main purpose of this work is to study the concept of orientation around an isolated singularity in the context of harmonic functions of complex value. To do this, it begins with a systematic study of the behavior of a harmonic function around a singularity, seeking to find a complex representation of Laurent's harmonic series, which is achieved by obtaining a simple expression in complex terms for homogeneous harmonic polynomials. These results are used to develop a residue theorem for harmonic functions. Then, we investigate the concept of orientation through the use of complex dilatation, focusing on those points where orientation is not preserved or reversed, making the concept of exceptional set essential; in particular, we obtain necessary and sufficient conditions for a harmonic function f not to preserve nor reverse the orientation at any point in its domain. As this research focuses on the isolated singularities, it is necessary to increase the exceptional set to those points and to study their properties.
Ecuaciones parabólicas degeneradas en forma mixta
(2020-08-13) Gómez Mosquera, Christian Camilo; López Rodríguez, Bibiana; Acevedo Martínez, Ramiro Miguel; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
The aim of this work is to show an abstract framework to analyze the family of linear degenerate parabolic problems and family of linear degenerate parabolic mixed problems. To linear degenerate parabolic mixed equations, we deduce sufficient conditions to existence and uniqueness of solution by combining the theory for the degenerate parabolic equations and the classical Babuska-Brezzi theory. The numerical approximation was made through the finite element method in space and a Backward-Euler scheme in time. To degenerate parabolic and degenerate parabolic mixed problems, we obtain sufficient conditions to ensure that the fully-discrete problem has a unique solution and to prove quasi-optimal error estimates for the approximation. Moreover, we present a degenerate parabolic problem which arises from electromagnetic applications and deduce its well-posedness and convergence by using the developed abstract theory, including numerical tests to illustrate the performance of the method and confirm the theoretical results. Finally, we present the linear degenerate parabolic mixed (0 g) equations. We deduce that the fully-discrete problem has a unique solution and prove quasi-optimal error estimates for the approximation.
Isomonodromic deformations through differential Galois theory
(2019-10-13) Díaz Arboleda, Juan Sebastián; Blázquez Sanz, David; Casale, Guy; Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
The text begins with a brief description of differential Galois theory from a geometrical perspective. Then, parameterized Galois theory is developed by means of prolongation of partial connections to the jet bundles. The relation between the parameterized differential Galois groups and isomonodromic deformations is unfold as an application of Kiso-Cassidy theorem. It follows the computation of the parameterized Galois groups of the general fuchsian equation and Gauss hypergeometric equation. Finally, some non-linear applications are developed. By means of a non-linear analog, Kiso-Morimoto theorem, the Malgrange groupoid of Painlevé VI equation with variable parameters is calculated.
Enlaces de tres puentes
(2016-04-29) Rivera, Edison Mauricio
En este trabajo relacionamos los conceptos de 3-mariposa y cristalización. El primero de naturaleza geométrica y el segundo de naturaleza topológica. Las 3-mariposas buscan estudiar los enlaces de 3-puentes y su clasificación. Las cristalizaciones estudian las 3-variedades de género dos y su clasificación. Las 3-mariposas pueden ser codificadas mediante una 6-tupla de enteros positivos de la forma {m₁,n₁,m₂,n₂,m₃,n₃} y las cristalizaciones se pueden codificar también con una 6-tupla de la forma (h₀,h₁,h₂;q₀,q₁,q₂). Todos estos enteros cumplen ciertas propiedades aritméticas sencillas.
Model theory, homological conjectures, Frobenius algebras and cohomology of twisted graded G-Algebras
(2015-06-11) Gallego González, Edisson
Limits of quotients of polynomial functions of three variables, Classification of G-graded twisted algebras and the computation of the F-rational locus
(2015) Hernández Rodas, Juan Pablo; Vélez Caicedo, Juan Diego (Thesis advisor)
This thesis is divided in three main parts. In the first part we provide a theoretical method to determine the existence of the limit of a quotient of polynomial functions of three variables. An algorithm to compute such limits in the case where the polynomials have rational coeffcients, or more generally, coefficients in a real finite extension of the rational numbers is also described. In the second part, for any finite abelian group G, we present an exact formula to count the G graded twisted algebras satisfying certain symmetry condition. Finally, in the third part we describe an algorithm to compute the F-rational locus of an affine algebra over a field of prime characteristic p 0 by computing first its global test ideal. As a consequence we deduce the Openness of the F-rational locus, a result originally proved in [27]
Resultados sobre problemas elípticos en dominios simétricos o no simétricos
(2015-07-16) Lopera Arias, Emer de Jesús
En esta tesis se estudian tres problemas de tipo semipositone, uno de ellos en un dominio acotado N-dimensional, y los otros dos en dominios simétricos. El operador diferencial involucrado en todos los casos es el p-Laplaciano
Análisis de recuperación de las tasas de decaimiento en imágenes cerebrales potenciadas en T2 de resonancia magnética
(2014) Jaramillo Justinico, Rodney
Resumen: Los métodos tipo Prony se usan en muchas aplicaciones para realizar el ajuste exponencial que corresponde a un conjunto de datos. En este trabajo se estudia una variante del método Prony que ha sido usada por Martín-Landrove et al. En un proceso de segmentación de imágenes cerebrales potenciadas en T2 de resonancia magnética. Se demuestra la equivalencia entre este método y el método conocido en la literatura como Prony modificado y se estudia la estabilidad de las soluciones computadas con respecto a la presencia de ruido en los datos. En particular se demuestra que el error relativo, en el cálculo de los parámetros lineales y no lineales del ajuste exponencial, es lineal con respecto al ruido en los datos. El análisis se basa en resultados clásicos que provienen del álgebra lineal, la teoría de la computación matricial y la teoría de estabilidad de raíces de polinomios. Aunque son varias las fuentes de ruido en la generación de imágenes de resonancia magnética, en este trabajo se considera que éstas están afectadas solamente por ruido tipo Rice y se implementa un nuevo proceso de filtrado bilateral en el dominio de las ondículas para reducir el ruido en las imágenes. El filtro propuesto es una modificación del elaborado por Kazubek y para mostrar su desempeño en la reducción del ruido, se usan imágenes sintéticas y se compara con el filtro original usando criterios cuantitativos y cualitativos. El efecto de la implementación de la variante del método Prony, con la adición del filtro, se ilustra con dos tipos de datos: usando una sucesión real de imágenes cerebrales de resonancia magnética y usando imágenes sintéticas solicitadas al portal Simulated Brain Web.
New candidates for multivariate trapdoor functions and new multivariate public key encryption schemes
(2014) Porras Barrera, Jaiberth
Abstract: In this thesis we present a new method for building pairs of HFE1 polynomials of high degree, in such a way that the map constructed with this pair is easy to invert. The inversion is accomplished using a low degree polynomial of Hamming weight three, which is derived from a special reduction via Hamming weight three polynomials produced by these two HFE polynomials. This allows us to build new candidates for multivariate trapdoor functions in which we use the pair of HFE polynomials to fabricate the core map. Using this new multivariate trapdoor function we derive an encryption scheme in a similar way as the HFE scheme is created. We show that this encryption scheme is relatively efficient and that it resists the attacks that have threatened the security of HFE. Finally, we propose parameters for a practical implementation of our cryptosystem.
Familias esférica e hiperbólicamente invariantes
(Universidad Nacional de Colombia, 2011) Arbeláez Pulgarín, Hugo Javier; Mejía Duque, Diego
En 1964 Pommerenke [Po64], introduce la noción de familia linealmente invariante de funciones analíticas e inyectivas definidas en el disco unidad D del plano complejo C. Siguiendo estas mismas ideas decimos que una familia F de funciones meromorfas localmente inyectivas definidas en D es esféricamente invariante. Las familias esféricamente invariantes fueron inicialmente estudiadas por Ma y Minda [MaMi92], en el contexto de las funciones esféricamente convexas. En dicho artículo ellos definen el orden esférico para las funciones en dichas familias y muestran algunas propiedades para las funciones con orden esférico finito; sin embargo el estudio no es muy amplio. De manera completamente análoga decimos que una familia Fh de funciones analíticas localmente inyectivas de D en D es hiperbólicamente invariante. Así como en el caso esférico, estas familias fueron inicialmente estudiadas por Ma y Minda [MaMi94], en el contexto de las funciones hiperbólicamente convexas. El propósito de este trabajo es ampliar el estudio de las familias esféricamente (hiperbólicamente) invariantes, mostrando resultados interesantes para las funciones con orden esférico (hiperbólico) finito.
Existencia y propiedades cualitativas de las soluciones para problemas elípticos no lineales
(2008) Vélez López, Carlos Augusto; Jorge Iván, Cossio Betancur (Thesis advisor)
El propósito de este trabajo consiste en estudiar la existencia y ciertas propiedades cualitativas de las soluciones del problema semilineal con un dominio suave y acotado. Las propiedades cualitativas que nos proponemos estudiar se relacionan, básicamente, con el índice de Morse y los grupos críticos por un lado, y el cambio de signo de las soluciones por el otro. En este sentido, en el Capítulo 2, probamos la existencia de una solución cuyo índice de Morse aumentado es grande en un sentido que se precisara mas adelante. Además, usando información acerca de los grupos críticos, bajo condiciones adicionales demostramos la existencia de tres soluciones. Este resultado mejora el teorema de J. Cossio y S. Herrón y el teorema de J. Cossio y C. Vélez. Nuestros desarrollos en este capitulo provienen de resultados esencialmente establecidos por A. Laser y S. Solimini. En el capitulo 3, consideramos un problema bajo una hipótesis adicional. En este contexto, se puede aplicar el Método de Reducción de Lyapunov-Schmidt. En la sección 3.1, usando algunas ideas de A. Castro y A. Lazer demostramos un resultado de invariancia de índice de Morse bajo reducción que nos permite, en la Sección 3.2, complementar los resultados de A. Castro y J. Cossio. En particular, quedan establecidos la existencia de una solución de índice de Morse aumentad igual a k y el hecho de que, si esta solución cambia de signo, existe otra solución del problema que también cambia de signo. Finalmente, en el Capítulo 4 demostramos que, bajo condiciones adecuadas, la soluciones de índice de Morse aumentando grande, obtenidas en los capítulos anteriores, cambian de signo. Aplicaremos diversas técnicas tales como Grupos Críticos, Teoría de Grado de Leray-Schauder, estimativos a priori y Teoría de puntos críticos, en particular el Teorema del Paso de la Montaña y el Método de Reducción de Lyapunov-Schmidt. Puesto que varios de los teoremas de estas técnicas que emplearemos lo exigen, en adelante supondremos que los puntos críticos de J son aislados.
Existencia de soluciones para problemas de Dirichlet asintóticamente lineales en ecuaciones con el laplaciano y el p-laplaciano
(2006) Herrón Osorio, Sigifredo; Cossio Betancur, Jorge Iván (Thesis advisor)
Se consideran dos problemas de Dirichlet asintóticamente lineales. En primer lugar se estudia un problema elíptico semilineal el cual es abordado usando técnicas variacionales y se demuestra que tiene al menos tres soluciones no triviales cuando la derivada de la no linealidad cruza por lo menos los dos primeros valores propios, y en segunda instancia se investiga un problema no lineal con el p-Laplaciano para el cual obtenemos, usando teoría de bifurcación, múltiples soluciones radiales.
Dominios hiperbólicamente convexos con estrechos
(2009-09) Arango Escalante, Juan Humberto
Se introduce el concepto de estrecho, en términos hiperbólicos, para un subdominio del disco unidad. Si el dominio es hiperbólicamente convexo, se caracteriza la existencia de estrechos en términos euclidianos mediante el concepto de cuasidisco. Se propone una clasificación de los estrechos y se exhiben algunos ejemplos. Además, para la clase Kh(α) de las funciones hiperbólicamente convexas normalizadas, se obtienen dos cotas inferiores de su constante de Bloch: una justificada analíticamente y otra mejor basada en información gráfica y numérica, las cuales apoyan una conjetura acerca del valor exacto de la constante.

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