Introducción a la teoría de representaciones de conjuntos parcialmente ordenados

Abstract

Los orígenes de la teoría de representaciones de conjuntos parcialmente ordenados se encuentran en 1972, cuando Nazarova y Roiter —en sus investigaciones sobre representaciones de algebras de dimensión finita, surgidas a partir del estudio de dos famosas conjeturas de Brauer-Thrall— introdujeron las representaciones de conjuntos parcialmente ordenados (Nazarova y Roiter, 1972). Sus descubrimientos fueron revolucionarios en la teoría de representaciones y marcaron el comienzo de una nueva era de la investigación en teoría de representaciones de estructuras algebraicas. La teoría fue desarrollada durante las décadas de los 70 y 80 del siglo pasado, cuando, en particular, se obtuvieron los criterios principales para el tipo de representación finito (Kleiner, 1972b), manso (Nazarova, 1975) y de crecimiento finito (Zavadskij y Nazarova, 1981), con la clasificación correspondiente de las representaciones indescomponibles (Bondarenko et al., 1979; Otrashevskaya, 1976; Zavadskij, 1977; Zavadskij y Nazarova, 1981) e, incluso, la descripción del carcaj de Auslander-Reiten (Zavadskij, 1990). A partir de 1980, la investigación se dirigió al estudio de conjuntos parcialmente ordenados con estructuras adicionales: con involución, con una relación de equivalencia, equipados, etc. Las representaciones de conjuntos parcialmente ordenados se utilizan en la teoría de representaciones de anillos y ordenes (particularmente ordenes tejados), en la teoría de representaciones de carcajes con relaciones de conmutatividad y cerorelaciones, en la teoría de representaciones de algebras de Artin (Auslander et al., 1995; Gabriel y Roiter, 1992) y, especialmente, en la teoría de representaciones de grupos abelianos (Arnold, 2000), y tienen diversas aplicaciones en la teoría de retículos modulares y en la teoría de formas bilineales y cuadráticas. El objetivo de estas notas es brindar una introducción elemental a la teoría de representaciones de conjuntos parcialmente ordenados ordinarios, es decir, sin estructuras adicionales. Las notas están diseñadas para un curso de un semestre el cual está orientado a estudiantes de pregrado; los prerrequisitos mínimos son los cursos estándar de algebra lineal, formas canónicas, y grupos y anillos. A continuación, enunciamos una breve sinopsis del contenido: en el primer capítulo, presentamos algunas definiciones y nociones de la teoría de categorías que serán utilizadas a lo largo del texto. En el segundo capítulo, introducimos la categoría de representaciones de un conjunto parcialmente ordenado sobre un campo y la noción de problema matricial. En el tercer capítulo, estudiamos y resolvemos el problema principal de la teoría para conjuntos parcialmente ordenados de ancho menor que tres e introducimos la clasificación inicial: tipo de representación finito, tipo de representación infinito. En los capítulos cuatro y cinco, exponemos los dos algoritmos clásicos de diferenciación para conjuntos parcialmente ordenados, así como la relación existente entre ellos. En el capítulo seis, se utiliza la diferenciación con respecto a una pareja conveniente para demostrar dos teoremas clásicos de Kleiner: la clasificación de los conjuntos parcialmente ordenados de tipo de representación finito y la obtención de todos los conjuntos parcialmente ordenados de este tipo que son sinceros. Finalmente, en el capítulo siete, incluimos una solución elemental al problema de los cuatro subespacios, obtenida en conjunto con el profesor Zavadskij y publicada en The four subspace problem: An elementary solution (Medina y Zavadskij, 2004); presentamos, también, algunas nociones sobre conjuntos parcialmente ordenados mansos y salvajes. Para la elaboración del texto, se utilizó material clásico sobre representaciones de conjuntos parcialmente ordenados, tomado, principalmente, de las notas de clase del curso Temas de conjuntos ordenados, dictado por el profesor Zavadskij, en la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogota, durante el primer semestre de 2002, del capítulo primero del libro de Arnold (2000), del texto de Simson (1992), así como el material del curso que lleva el mismo nombre que el presente trabajo y que el autor dicto durante 2006, 2007, 2008 y 2018 en la Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales.