Raíces matriciales de matrices estocásticas

Abstract

Las cadenas de Markov de tiempo discreto han sido ampliamente utilizadas para modelar procesos que evolucionan con el tiempo en diversos campos, como son la evaluación del riesgo de crédito en la industria financiera (Higham & Lin [2011]), el progreso de enfermedades crónicas (Charitos et al. [2008]), la planificación de mano de obra disponible por periodos (Guerry [2014]) y la predicción del estado del tiempo en aeropuertos (Jacquillat [2012]), entre otros. En estos modelos, la estimación de la matriz de transición suele estar restringida a un periodo de tiempo determinado. Sin embargo, en muchas aplicaciones se requiere conocer la evolución del sistema en escalas temporales menores a las de la estimación original.

En este contexto, y basándose en conceptos de matrices estocásticas, descomposiciones matriciales y teoría de raíces matriciales, este trabajo se enfoca en caracterizar las condiciones bajo las cuales una matriz estocástica dada admite una raíz estocástica de orden m, así como en el desarrollo de algunos algoritmos para su obtención.

Se presentan resultados para matrices estocásticas de tamaños 2 × 2, 3 × 3 y 4 × 4 en términos de sus valores propios, trazas y determinantes. Adicionalmente, se analizan casos en los que aparecen matrices estocásticas con estados absorbentes y matrices doblemente estocásticas, contribuyendo así al estudio teórico y computacional de las raíces de matrices estocásticas (Texto tomado de la fuente).

Discrete-time Markov chains have been widely used to model processes that evolve over time in various fields, such as credit risk assessment in the financial industry (Higham & Lin [2011]), chronic disease progression (Charitos et al. [2008]), period-based available labor planning (Guerry [2014]), and airport weather prediction (Jacquillat [2012]), among others. In these models, the estimation of the transition matrix is usually restricted to a given time period. However, in many applications it is necessary to know the evolution of the system on time scales smaller than those of the original estimation.

In this context, and based on concepts of stochastic matrices, matrix decompositions and matrix root theory, this research focuses on characterizing the conditions under which a given stochastic matrix admits a stochastic root of order m, as well as on the development of some algorithms to obtain it.

Results are presented for stochastic matrices of sizes 2×2, 3×3 and 4×4 in terms of their eigenvalues, traces and determinants. Additionally, cases involving stochastic matrices with absorbing states and doubly stochastic matrices are analyzed, thus contributing to the theoretical and computational study of the roots of stochastic matrices.