Contribución al análisis de la dinámica de mercados sin stock a través de modelos matemáticos suaves a tramos

Abstract

Los mercados desempeñan un papel fundamental en la actividad económica de cualquier país, actuando como motores del crecimiento, el desarrollo y el empleo. Dada su importancia, resulta esencial comprender su dinámica. Este estudio se centra en la modelación de la dinámica de un mercado sin stock mediante sistemas dinámicos suaves a tramos y procesos estocásticos. Los modelos propuestos describen el comportamiento del mercado a través de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que capturan la relación entre variables clave como la oferta, la demanda y la capacidad de producción en desarrollo. Estas ecuaciones presentan discontinuidades en ciertas variedades denominadas superficies de conmutación, las cuales representan cambios bruscos en las decisiones de inversión basadas en los rendimientos esperados. Uno de los modelos planteados incorpora zonas de deslizamiento dentro de estas superficies, donde se analiza y prueba la estabilidad local de un pseudoequilibrio, tras definir el campo vectorial de Filippov que rige en dicha zona. Se demuestra la existencia de singularidades fold-fold, donde dos tangencias se cruzan dentro del sistema, indicando transiciones críticas en la dinámica del mercado, tales como cambios abruptos en los precios y en el comportamiento de la oferta y la demanda. A pesar del creciente uso de herramientas matemáticas y computacionales en el estudio de la dinámica de mercados, la literatura actual no ha abordado en profundidad el análisis de singularidades fold-fold en sistemas suaves a tramos dentro de este contexto. Las simulaciones numéricas evidencian los hallazgos teóricos, ilustrando el comportamiento de las trayectorias cerca de las superficies de conmutación y las regiones de deslizamiento. Además, la introducción de procesos de Markov deterministas a tramos (PDMP) permite modelar la incertidumbre y el comportamiento estocástico en la toma de decisiones de inversión. Así, este estudio contribuye a comprender cómo las discontinuidades y singularidades en los modelos matemáticos permiten justificar lo observado en un mercado real, destacando la aplicación de los sistemas dinámicos suaves a tramos y los procesos estocásticos en la toma de decisiones económicas (Texto tomado de la fuente).

Markets play a fundamental role in a country’s economic activity, serving as key drivers of growth, development, and employment. Given their importance, understanding market dynamics is essential. This study focuses on the modeling of a stockless market’s dynamics using piecewise smooth dynamical systems and stochastic processes. The proposed models describe market behavior through ordinary differential equations (ODEs) that capture the relationship between key variables such as offer, demand, and developing production capacity. These equations exhibit discontinuities in specific regions known as switching surfaces, representing abrupt changes in investment decisions based on expected returns. One of the models incorporates sliding regions within these surfaces, where the local stability of a pseudo-equilibrium is analyzed and tested after defining the governing Filippov vector field. The existence of fold-fold singularities is demonstrated, where two tangencies intersect within the system, indicating critical transitions in market dynamics, such as sudden changes in prices and offer-demand behavior. Despite the increasing use of mathematical and computational tools in market dynamics research, the existing literature has not extensively examined fold-fold singularities in piecewise smooth systems within this context. Numerical simulations provide evidence for the theoretical findings, illustrating trajectory behavior near switching surfaces and sliding regions. Additionally, the introduction of piecewise deterministic Markov processes (PDMPs) enables the modeling of uncertainty and stochastic behavior in investment decision-making. This study thus contributes to a better understanding of how discontinuities and singularities in mathematical models account for what is observed in a real market, emphasizing the application of piecewise smooth dynamical systems and stochastic processes in economic decision-making.