Doctorado en Ciencias - Matemáticas

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An algebraic approach to the solutions of the open shop scheduling problem with applications
(Universidad Nacional de Colombia, 2025-10-14) Moreno Mendez, Danna Odette; Riaño Rojas, Juan Carlos; Ballester Bolinches, Adolfo; MorenoMendez, Danna Odette [0001902386]; MorenoMendez, Danna Odette [0000000339532381]
Brauer data analysis (BDA) is a novel research framework that investigates algebraic and combinatorial invariants associated with Brauer configuration algebras, with applications to data analysis. Recent work in this framework has addressed problems in cybersecurity, branched covering theory, graph entropy, and quantum entanglement. Building on the ideas of Cañadas et al., this thesis employs BDA to explore deep connections between areas that initially appear unrelated. The central object of study is the Open Shop Scheduling Problem (OSSP), a classical combinatorial optimization problem. The main objective is to endow the solutions of any OSSP instance with algebraic structure via Brauer configuration algebras, and to analyze the resulting invariants with respect to optimal solutions and the number of machines and jobs. To this end, a family of partitions, called OSSP-partitions, is constructed from the solution space. Each such family induces a Brauer configuration algebra, and further partitioning yields OSSP solutions to the Yang-Baxter equation. In addition, each OSSP instance determines an associated group, whose prime graph is studied through its invariants in relation to the prime-counting function. A key contribution of this thesis is the emergence of seaweed Lie algebras within this construction. For this class of algebras, a closed formula for the Dixmier index is derived, a notable result, given that computing this index is generally a difficult problem. Finally, BDA is integrated with the algebraic invariants developed throughout the thesis and applied to specific instances drawn from a public dataset on freight transport loading times in Colombia.
Numerical methods for mathematical models of reactive sedimentation
(Universidad Nacional de Colombia, 2026) Támara López, Daniel Enrique; Acosta Medina, Carlos Daniel; Támara López, Daniel Enrique [0009000369101491]
La sedimentación reactiva es un proceso fundamental en los tanques de sedimentación secundaria (SST, por sus siglas en inglés) de las plantas de tratamiento de aguas residuales, donde interactúan simultáneamente fenómenos físicos de separación sólido-líquido y reacciones biológicas. Ignorar esta interacción puede comprometer tanto la eficiencia del sistema como la calidad del efluente tratado. El objetivo principal de esta tesis doctoral es formular un modelo matemático de sedimentación reactiva que incorpore una geometría variable del SST y una representación porcentual de la fase sólida, así como desarrollar, analizar, comparar e implementar métodos numéricos eficientes para su resolución. El modelo resultante es un sistema unidimensional en espacio, no lineal y parabólico fuertemente degenerado de ecuaciones diferenciales parciales del tipo convección-difusión-reacción, con flujos convectivos discontinuos. Las incógnitas del sistema son la concentración total de sólidos suspendidos (bacterias, lodo activado), las fracciones específicas de cada componente particulado y las concentraciones de los sustratos disueltos, todas funciones del tiempo y la profundidad. Para resolverlo, se desarrollan dos métodos numéricos basados en volúmenes finitos: uno explícito (XPE) y otro semi-implícito (XPSI). En el primero, los términos convectivo, difusivo y reactivo se discretizan de manera explícita. En el segundo, el término difusivo se trata implícitamente, mientras que los restantes se mantienen explícitos. En ambos casos, los flujos convectivos de las fases sólida y líquida se aproximan mediante el operador upwind y el flujo numérico de Engquist–Osher. Adicionalmente, bajo condiciones de estabilidad tipo Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) adecuadas, se demuestra que ambos esquemas satisfacen un principio de región invariante, lo que garantiza soluciones físicamente relevantes y, en particular, concentraciones no negativas y concentraciones sólidas acotadas. Además, se demuestra la buena colocación del esquema semi-implícito, lo que garantiza que los sistemas de ecuaciones asociados con la actualización de las variables del sistema admiten una solución única. Finalmente, los resultados numéricos muestran que el modelo propuesto captura adecuadamente comportamientos característicos del proceso de sedimentación, tales como la acumulación de material particulado en el fondo del SST y la baja concentración de sólidos en la zona del efluente. Asimismo, los errores numéricos, calculados con respecto a una solución de referencia, indican que ambos métodos convergen hacia la misma solución, con tasas de convergencia y niveles de precisión similares. No obstante, debido a una condición CFL menos restrictiva, los pasos temporales del método XPSI son más grandes que los del esquema XPE, especialmente en regímenes con mayor rigidez difusiva. En consecuencia, el método semi-implícito resulta más eficiente en términos de tiempo de cómputo, lo que lo convierte en una alternativa particularmente conveniente para simulaciones de larga duración o para escenarios que requieren alta resolución espacial. Estas contribuciones representan un avance en la modelación y solución numérica de procesos de sedimentación reactiva, con implicaciones prácticas para el análisis y optimización de sistemas de tratamiento de aguas residuales (Texto tomado de la fuente).
Modelado matemático de la dinámica poblacional de la broca del café considerando diferentes estrategias de control
(Universidad Nacional de Colombia, 2026-02-23) Trujillo Salazar, Carlos Andrés; Olivar Tost, Gerard; Sotelo Castelblanco, Deissy Milena; Carlos Andrés Trujillo Salazar [0001436217]; Carlos Andrés Trujillo Salazar [JTVG2KMAAAAJ]; Carlos Andrés Trujillo Salazar [0000-0002-2217-746X]; Carlos Andrés Trujillo-Salazar [Carlos-Trujillo-Salazar]; Abc Dynamics; Trujillo Salazar, Carlos Andrés [56323303500]
El cultivo de café es una actividad agrícola de importancia global que influye significativamente en la economía de países como Colombia y que enfrenta el reto de la broca del café (Hypothenemus hampei), un escarabajo diminuto que se alimenta de los granos y se reproduce en ellos, impulsando el desarrollo de estrategias de control ambientalmente sostenibles. Para abordar esta problemática, se plantean y analizan dos modelos matemáticos: el primero es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que modela la dinámica poblacional de la broca bajo control biológico ejercido por hormigas depredadoras; y el segundo es un sistema suave a tramos que integra controles biológico y etológico, el cual se expresa como captura diaria. La efectividad de estos controles se estudia variando parámetros claves en la dinámica, específicamente, se analizan puntos de equilibrio y de deslizamiento, determinando condiciones para el sentido biológico, la estabilidad y la ocurrencia de bifurcaciones de codimensión uno y dos; estos resultados, ilustrados con simulaciones numéricas e interpretados desde una perspectiva ecológica, evidencian el potencial de estas estrategias para el manejo integrado de la broca del café (Texto tomado de la fuente).
Partial differential equations defined by the ϕ-Laplacian operator
(Universidad Nacional de Colombia, 2026) Sánchez Monsalve, Diana Milena; Herrón Osorio, Sigifredo de Jesús; Am Análisis Matemático
We study the solvability of quasilinear boundary value problems that involve the phi-Laplacian operator and we obtained new results on the existence of solutions, as well as qualitative properties of them, distributed in three chapters. Firstly, we study classes of singular elliptic problems involving p-Laplacian operator with a homogeneous Dirichlet boundary condition. This p-Laplacian is a particular case of phi-Laplacian. In this chapter we discuss the existence and regularity of the purely singular problem. Then, we investigate the existence of positive solutions with respect to a parameter depending on the behavior of the nonlinearities at infinity and at the origin. We use sub-super solution techniques to prove our existence results. Secondly, we study the solvability of (p,q)-Laplacian problems with nonlinear reaction terms and nonhomogeneous Neumann boundary conditions. This operator, also known as the double phase operator, is also a particular case of the phi-Laplacian. Using variational methods and critical point theory, we prove the existence of weak solutions for the nonlinear problems. Finally, we establish the existence of a countably infinite family of radially symmetric solutions that exhibit sign variations. These solutions are obtained for a Dirichlet boundary value problem that incorporates the phi-Laplace operator. Our main tools are the shooting method, phase plane and energy analysis, which demand extensive use of a Pozohaev-type identity.
Functors between some categories of representations of finite growth
(Universidad Nacional de Colombia, 2025-11-19) Medina Arellano, Gonzalo; Dorado Correa, Ivon Andrea; Medina Arellano, Gonzalo [0000000347299057]; Gonzalo Medina Arellano [Gonzalo-Medina-8]; Representaciones de Estructuras Algebraicas
Functorial relations between some categories arising from finite growth representation problems are established. We focus on the Four Subspace Problem and some of its subproblems. We define and analyze functors that map between the representation categories of these subproblems and the one corresponding to the quiver associated to the Four Subspace Problem. We study how these functors induce embeddings of the postprojective and preinjective components of the Auslander-Reiten quiver of the Kronecker problem into the corresponding components for the Auslander-Reiten quiver associated to the Four Subspace Problem. We also present new solutions to three of the subproblems considered: the Kronecker problem (via partially ordered sets with involution), and two problems corresponding to Euclidean quivers of types $\widetilde{A}_{2}$ (as a matrix problem) and $\widetilde{A}_{3}$ (approached via a reduction mechanism allowing the use of induction).
Contribución al análisis de la dinámica de mercados sin stock a través de modelos matemáticos suaves a tramos
(Universidad Nacional de Colombia, 2025) Molina Díaz , Oscar Emilio; Olivar Tost, Gerard; Sotelo Castelblanco, Deissy Milena; Abc Dynamics
Los mercados desempeñan un papel fundamental en la actividad económica de cualquier país, actuando como motores del crecimiento, el desarrollo y el empleo. Dada su importancia, resulta esencial comprender su dinámica. Este estudio se centra en la modelación de la dinámica de un mercado sin stock mediante sistemas dinámicos suaves a tramos y procesos estocásticos. Los modelos propuestos describen el comportamiento del mercado a través de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que capturan la relación entre variables clave como la oferta, la demanda y la capacidad de producción en desarrollo. Estas ecuaciones presentan discontinuidades en ciertas variedades denominadas superficies de conmutación, las cuales representan cambios bruscos en las decisiones de inversión basadas en los rendimientos esperados. Uno de los modelos planteados incorpora zonas de deslizamiento dentro de estas superficies, donde se analiza y prueba la estabilidad local de un pseudoequilibrio, tras definir el campo vectorial de Filippov que rige en dicha zona. Se demuestra la existencia de singularidades fold-fold, donde dos tangencias se cruzan dentro del sistema, indicando transiciones críticas en la dinámica del mercado, tales como cambios abruptos en los precios y en el comportamiento de la oferta y la demanda. A pesar del creciente uso de herramientas matemáticas y computacionales en el estudio de la dinámica de mercados, la literatura actual no ha abordado en profundidad el análisis de singularidades fold-fold en sistemas suaves a tramos dentro de este contexto. Las simulaciones numéricas evidencian los hallazgos teóricos, ilustrando el comportamiento de las trayectorias cerca de las superficies de conmutación y las regiones de deslizamiento. Además, la introducción de procesos de Markov deterministas a tramos (PDMP) permite modelar la incertidumbre y el comportamiento estocástico en la toma de decisiones de inversión. Así, este estudio contribuye a comprender cómo las discontinuidades y singularidades en los modelos matemáticos permiten justificar lo observado en un mercado real, destacando la aplicación de los sistemas dinámicos suaves a tramos y los procesos estocásticos en la toma de decisiones económicas (Texto tomado de la fuente).
Un modelo de pronostico con variables aleatorias escalares y funcionales temporal y espacialmente correlacionadas
(Universidad Nacional de Colombia, 2024) Ocampo Rodriguez, David leonardo; Riaño Rojas, Juan Carlos; Serrano Suarez, Fabian Fernando; Ocampo Rodríguez, David Leonardo [0000000196986887]; Percepción y Control Inteligente (Pci)
En este trabajo se lleva a cabo los desarrollos teóricos y computacionales necesarios para la estimación e inferencia de un modelo de regresión espacio temporal con respuesta escalar y con fines de predicción espacial y pronóstico, con variables explicativas funcionales que involucre la estructura de correlación existente. El modelo propuesto considera la respuesta escalar con dependencia espacial en un dominio continuo, incorporando esta dependencia mediante modelos de semivariograma y métodos de interpolación como el kriging ordinario. Las variables predictivas forman un campo aleatorio funcional multivariado modelado utilizando métodos de interpolación por cokriging. Aplicamos los mínimos cuadrados generalizados para estimar los parámetros, y luego lo implementamos utilizando datos climáticos de la región de Caldas para la validación (Texto tomado de la fuente)

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