On arithmetic equivalence and Iwasawa invariants

Abstract

This thesis explores the connections between two fundamental areas of algebraic number theory: Iwasawa Theory and Arithmetic Equivalence. On one hand, it examines the growth of ideal class groups in cyclotomic extensions of the p-adic integers, based on the pioneering work of Kenkichi Iwasawa, who introduced p-adic methods to describe this growth using Iwasawa modules. On the other hand, it analyzes the Dedekind zeta function, a central object that encodes arithmetic information about a number field, and the concept of arithmetic equivalence, developed by Ronald Perlis, which identifies non-isomorphic number fields with identical zeta functions through the notion of Gassmann equivalence. The thesis highlights how certain Iwasawa modules can help determine the zeta functions of totally real number fields and identify relationships between the Iwasawa modules of arithmetically equivalent fields. The chapters include a historical overview, a presentation of the foundational theorem of Iwasawa theory, a study of L-functions and their p-adic analogues, as well as a detailed analysis of arithmetic equivalence and its relation to zeta functions. Finally, the Main Conjecture of Iwasawa Theory is revisited, linking algebraic and analytic objects, and establishing bridges between Iwasawa theory and arithmetic equivalence. (Tomado de la fuente)

Esta tesis explora las conexiones entre dos áreas fundamentales de la teoría algebraica de números: la Teoría de Iwasawa y la Equivalencia Aritmética. Por un lado, se estudia cómo crecen los grupos de clases ideales en extensiones ciclotómicas de los enteros p-ádicos, a partir de los trabajos pioneros de Kenkichi Iwasawa, quien introdujo métodos p-ádicos para describir dicho crecimiento mediante módulos de Iwasawa. Por otro lado, se analiza la función zeta de Dedekind, un objeto central que codifica información aritmética de un cuerpo numérico, y el concepto de equivalencia aritmética, desarrollado por Ronald Perlis, el cual identifica cuerpos numéricos no isomorfos pero con funciones zeta iguales, mediante la noción de equivalencia de Gassmann. La tesis destaca cómo ciertos módulos de Iwasawa pueden ayudar a determinar funciones zeta de cuerpos totalmente reales y a identificar relaciones entre módulos de Iwasawa de cuerpos aritméticamente equivalentes. Los capítulos incluyen una revisión histórica, una presentación del teorema fundacional de la teoría de Iwasawa, un estudio de las funciones L y sus versiones p-ádicas, así como un análisis detallado de la equivalencia aritmética y su relación con las funciones zeta. Finalmente, se retoma la Conjetura Principal de la Teoría de Iwasawa, que conecta objetos algebraicos y analíticos, y se exponen los vínculos entre dicha teoría y la equivalencia aritmética.