Equivalencia de los problemas integral y de Cauchy para la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP-II) en espacios de baja regularidad.

Abstract

La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili, se denotara en adelante por KP, es una ecuación de evolución no lineal que aparece como una generalización bidimensional de la ecuación de Korteweg-de Vries, en el estudio de la estabilidad transversal de solitotes unidimensionales. La ecuación KP es un modelo matemático para describir ondas largas de pequeña amplitud que se propaga en la dirección X e un fluido bidimensional con profundidad pequeña y constante. El objetivo central de este trabajo es determinar bajo que condiciones sobre el dato inicial y en que sentido una función en los espacios de Bourgain es solución del problema de Cauchy si y solo si es solución del problema integral, cuando el dato inicial pertenece a espacios de Sobolev anisotrópicos. En el capítulo uno se introduce las definiciones de los diferentes espacios y operadores que permiten formular de manera precisa los conceptos de solución del problema integral y de solución del problema de Cauchy. Asimismo se enuncian los resultados del trabajo en forma de teoremas. En el capítulo dos se demuestra que el problema integral para la ecuación KP-II esta localmente bien planteado para datos iniciales en espacios anisotropitos. Es decir probamos los teoremas de existencia local en el tiempo, unicidad, dependencia continua y regularidad. En el capítulo tres establece el principal resultado de este trabajo, que es a la vez su principal aporte. Allí se demuestra que si el dato inicial es una distribución temperada, entonces los problemas del capítulo 2, se concluye entonces que el problema de Cauchy para la ecuación KP-II esta localmente planteado para datos iniciales.