Cubrimientos ramificados y fibraciones elípticas

Abstract

Una gran variedad de fenómenos y preguntas relacionadas con las fibraciones elípticas tienen sus correspondientes análogos en la teoría de cubrimientos ramificados. Esto hace posible tratar en forma unificada muchos problemas que aparecen en ambas teorías bajo una sola óptica, así como conjeturar e intuir fenómenos sobre fibraciones elípticas por ser estos mas transportes y sencillos en la teoría de recubrimientos ramificados, una dimensión (compleja) mas baja. Une ejemplo de ello es el teorema de coalescencia, el cual aparece en forma natural en la teoría de recubrimientos ramificados y que permite conjeturar su análogo en fibraciones elípticas del cual se dará una serie de problemas algebraicos en el grupo modular PSL que tienen su contraparte en el grupo simétrico. Uno de los problemas centrales que me ha motivado este trabajo es la llamada de conjetura de factorización minimal, formulada por el profesor M Ishizaka y en forma independiente por el profesor C. Cadavid y demostrada por el autor. Esta conjetura apareció originalmente como una propuesta para generalizar el número de Milnor, y como veremos, esta íntimamente relacionada con otras conjeturas importantes, tales como la conjetura de szpiro. Este problema es un ejemplo de una clase especial de problemas en teoría de grupos llamados problemas de crecimientos (growth problems). La conjetura de factorización miminal esta relacionada con otros dos problemas que se discutirán en este trabajo, a los que se denominaron problemas de la coalescencia de fibras singulares. El problema para fibraciones discretas es el siguiente: dado un cubrimiento ramificado general al disco cerrado unitario. Para fibraciones elípticas se demostrara un resultado análogo para todas las fibraciones sin fibras singulares múltiples.