Problema límite con frontera para aislamiento magnético en un diodo al vacío

Abstract

El modelo límite de aislamiento magnético para un diodo plano al vacío está conformado por un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias Vlasov−Maxwell no lineales, de segundo orden, sujetas a condiciones de frontera y con una singularidad en el origen. Este sistema caracteriza un diodo compuesto por dos filamentos perfectamente conductores: un cátodo emisor de electrones y un ánodo receptor. El voltaje aplicado entre ambos provoca el movimiento de electrones generando una corriente eléctrica, la cual induce un campo magnético en el plano perpendicular a la trayectoria del haz. Si la intensidad del campo magnético es lo suficientemente fuerte como para obligar a los electrones a regresar al cátodo se dice que el diodo está aislado magnéticamente. Para simplificar el problema se define mediante un cambio de variable apropiado una cantidad denominada potencial efectivo del diodo, con el cual es posible reducir el sistema a una ecuación diferencial ordinaria, no lineal, de primer orden y sujeta a sus propias condiciones de frontera. Para determinar el potencial efectivo como una función explícita de la posición se utiliza una aproximación por serie de Taylor hasta segundo orden alrededor de un parámetro positivo. Se obtiene que este potencial es de tipo tangente, por lo cual se deben considerar algunos requerimientos propios de la función y se debe vincular con las condiciones de contorno del problema. Físicamente, el aislamiento magnético ocurre cuando el potencial efectivo es negativo. Se lleva a cabo un análisis por casos para ilustrar numéricamente el comportamiento de un diodo magneto-aislante. En esta investigación se construye un método semi−analítico para establecer los parámetros asociados al desarrollo y determinar con precisión los intervalos en los cuales estos parámetros caracterizan un diodo aislado magnéticamente. Se encuentra que los resultados numéricos, los cuadros y las gráficas satisfacen adecuadamente las condiciones del problema. Se concluye la investigación proponiendo otro método semi-analítico complementario al anterior para determinar el valor de los parámetros restantes. Se analizan dos situaciones particulares y se mencionan brevemente algunas aplicaciones en la actualidad.

In this document the limit model of magnetic insulation for a vacuum plane diode is studied. This model was proposed by N. Ben Abdallah, P. Degond and F. M´ehats in Mathematical models of magnetic insulation, Physics of Plasma, Vol. 5, 1998, pp. 1522−1534. The model consists of a system of Vlasov−Maxwell nonlinear second order ordinary differential equations with a singularity at the origin d 2ϕ(x) dx 2 = jx 1 + ϕ(x) p [1 + ϕ(x)]2 − 1 − [a(x)]2 , d 2 a(x) dx 2 = jx a(x) p [1 + ϕ(x)]2 − 1 − [a(x)]2 , subject to the boundary conditions ϕ(0) = 0, ϕ(1) = ϕL, ϕ0 (0) = β, a(0) = 0, a(1) = aL, a0 (0) = α, where x is the position, a is the magnetic potential, ϕ is the electric potential, jx is the x−indepent current and α, β, aL, ϕL are parameters. A vacuum plane diode composed by a cathode electron emitter and a receiver anode produces magnetic insulation. The applied voltage between the perfectly conductive filaments of diode attracts electrons from the cathode to the anode generating an electrical current, which in turn produces a magnetic field in the plane perpendicular to the beam path. Intensity of magnetic field is strong enough to force electrons to turn back to the cathode. By appropriate changing of variable, the effective potential of diode is defined as θ(x) ≡ [1 + ϕ(x)]2 − 1 − [a(x)]2 and a second order Taylor series approach is used to determine θ as an explicit function of x. Magnetic insulation occurs when this potential is negative. A semi−analytical method that provides conditions for a magnetic−insulated diode is built. A numerical approximation is used to set the effective potential and calculate the electric and magnetic transient potentials and parameters at the border. Some particular numerical values are considered. Green’s method for particular case of boundary null values associated to magnetic potential is contemplated. Some applications of magnetic insulation are mentioned.