Ecuaciones elípticas en medios de alto contraste y aplicaciones

Abstract

En este trabajo revisamos algunos resultados recientes sobre aproximaciones de soluciones de problemas elípticos con coeficientes de alto contraste. En particular, detallamos la derivación de expansiones asintóticas para la solución en términos de alto contraste de los coeficientes y consideramos algunas aplicaciones interesantes. Usamos el Método de Elementos Finitos, el cual es aplicado en los cálculos numéricos de algunos términos de la expansión asintótica. Presentamos también una aplicación a Elementos Finitos Multiescala, en particular, diseñamos numéricamente una aproximación para el primer término de la expansión con funciones características armónicas locales. También mostramos el problema de elasticidad lineal con coeficientes de alto contraste, estudiamos la derivación de la expansión asintótica para el caso de una inclusión altamente inelástica y determinamos la convergencia en la H1-norma. Finalmente dejamos algunos comentarios finales.

Abstract. In this manuscript we review some recent results about approximations of solutions of elliptic problems with high-contrast coefficients. In particular, we detail the derivation of asymptotic expansions for the solution in terms of the high-contrast of the coefficients and we consider some interesting applications. We use the Finite Element Method, which is applied in the numerical computation of a few terms of the asymptotic expansion. We also present an application to Multiscale Finite Elements, in particular, we numerically design approximation for the term u0 with local harmonic characteristic functions. We also show the linear elasticity problem with high-contrast coefficient, where we study the derivation of asymptotic expansions for the case of one highly inelastic inclusion and we provide the convergence in the H1-norm. Finally, we state some final comments.