Decomposition of the Laplace-Beltrami operator on riemannian manifolds

Abstract

The goal of this work is to study the geometric conditions required on a pseudo-Riemannian manifold M to guarantee the existence of solutions of a second order partial differential equation posed on M. We closely follow the basic ideas in [3], where the considerations are carried out in the presence of a Riemannian metric and it is used the decomposition of the Laplace-Beltrami operator given by Helgason in [14]. In the indefinite case, the geometry of the manifold changes significantly and there are various pitfalls to watch out for. However, conditions for Helgason's results, in a certain sense, can be naturally set. Hence, we consider M as a globally hyperbolic Lorentzian manifold because a one dimensional submanifold \Sigma transversal to the orbits of a given group action is easily recognisable. This means M is endowed with a polar action and thus the equation can be reduced on \Sigma as in the Riemannian case. Then the solutions are obtained in such a way that these are constant along the orbits of the action. Finally, we propose an extension of our considerations to Lorentzian warped products.

En este trabajo estudiamos las condiciones geométricas requeridas sobre una variedad pseudo-Riemanniana M para garantizar la existencia de soluciones de una ecuación diferencial parcial de segundo orden planteada sobre M. Seguimos de cerca las ideas principales expuestas en [3], donde las consideraciones se llevan a cabo en presencia de una métrica Riemanniana y se usa la descomposición del operador Laplace-Beltrami dada por Helgason en [14]. A pesar de que en el caso indefinido la geometría de la variedad cambia significativamente y hay varios obstáculos a los que prestar atención, las condiciones para los resultados de Helgason se pueden encontrar naturalmente. En vista de esto, consideramos M como una variedad Lorentziana globalmente hiperbólica, pues en este contexto se puede identificar fácilmente una subvariedad unidimensional \Sigma transversal a las órbitas de una acción de grupo dada. Esto significa que M está dotada de una acción polar y así la ecuación se puede reducir sobre \Sigma como en el caso Riemanniano. Entonces las soluciones se obtienen de tal manera que resultan ser constantes a largo de las órbitas de la acción. Por último, proponemos una extensión de nuestras consideraciones a productos warped Lorentzianos. (Texto tomado de la fuente).