Problemas inversos de valores propios

Abstract

En un problema inverso se busca determinar o estimar los parámetros de un sistema a partir de lo observado o del comportamiento esperado. En esta tesis busca resolver el problema inverso de valores propios (IEP) por las siglas en inglés, estructurado para una familia de matrices, mediante transformaciones de similaridad y resolviendo flujos isospectrales. La información que contienen estas matrices, por ejemplo, se puede interpretar como la rigidez de un sistema. Como caso especial del (IEP) está el problema trascendental de valor propio (TIEP). Para entender en que consiste y poderlo trabajar se considera primero el caso directo (TEP), con el fín de dar solución a problemas de vibración como son, conocer algunas características de vibración del sistema para controlar y regular la respuesta de éste (TEP), y a partir de las frecuencias y unos datos adicionales encontrar parámetros físicos de ciertas estructuras para problemas de localización y severidad de daño (TIEP). En ambos problemas se usa un algoritmo basado en el algoritmo de Newton, y como un aporte de la tesis se propone usar una función de optimización para resolver ambos problemas. En el caso directo no resulta ser efectivo el algoritmo usando la función de optimización, ya que, solo arroja una buena aproximación para un número de divisiones pequeño, mientras que en el caso inverso resulta ser un algoritmo muy estable. Por otro lado el aporte que se hizo fue matemático ya que se deduce la ecuación de frecuencia de una barra de longitud, densidad y rigidez unitaria con área seccional cosenoidal.

In an inverse problem is to determine or estimate the parameters of a system from the observed or expected behavior. This paper seeks to solve the inverse eigenvalue problem (IEP) for a family of structured matrices by similarity transformations and solving isospectra flows. The information contained in these matrices can be interpreted as the rigidity of a system. A special case of (IEP) is the transcendental eigenvalue problem (TIEP); to understand this problem and how to solve it, it first consider the direct (PET) case, in order to solve vibration problems such as: how to control the system output knowing some of the vibration characteristics (direct), and how to stimate physical parameters for certain structures, starting from the frequencies and some additional data (inverse). A Newton-based algorithm is used for both cases;this work proposes the used of an optimization function to solve both cases. In the direct case, this approach is only effective for a small number of divisions; however, in the case inverse, the proposed algorithm turns out to be very stable. On the other hand the contribution that was made was mathematic, it deduce the frequency equation of a bar of unit length, density and rigidity and cosine cross-sectional area.