Teoría de galois diferencial y simetrías de Lie

Abstract

La teoría de las simetrías infinitesimales de Lie juega un importante papel en las ecuaciones diferenciales aportando métodos de resolución, clasificación y reducción. Por otro lado, en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales la teoría de Picard-Vessiot ofrece un marco de comprensión más completo para los problemas de la resolución y reducción [7]. Hay algunos trabajos [1, 2, 3, 4] que exploran la conexión entre estas dos teorías. Sin embargo, los resultados no son unificados y aparecen en contextos ligeramente diferentes: sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales de orden 1 u operadores diferenciales de orden n. Es interesante explorar la relación entre estos contextos y resultados.

En los primeros cinco capítulos se presenta una introducción y la formulación precisa del problema. En ellos se desarrolla el contexto teórico de los objetos a estudiar: fibrados vectoriales y conexiones lineales, teoría de Picard–Vessiot, geometría de contacto y espacios de jets. Posteriormente, se expone la teoría de las simetrías de Lie y su relación con la teoría de Picard–Vessiot. En el Capítulo 6 se introducen las simetrías infinitesimales puntuales y se calculan para una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes en un cuerpo diferencial dado. En el Capítulo 7 se desarrolla la teoría de las simetrías desde una perspectiva algebraico-diferencial, a las que denominamos simetrías de operador. En el Capítulo 8 se presenta una discusión completa en la que se establecen de manera explícita puentes entre las tres nociones de simetría consideradas: simetrías de Lie, simetrías puntuales y simetrías de operador. En el Capítulo 9 se estudia el álgebra de Lie de las transformaciones infinitesimales de contacto. Se exhibe una graduación en esta álgebra y se analiza el comportamiento del corchete de Lie con respecto de dicha graduación. Posteriormente, se establece la relación entre las simetrías de contacto de ecuaciones diferenciales de segundo orden y la graduación del álgebra de Lie de las transformaciones infinitesimales de contacto. Se calculan explícitamente las simetrías de contacto de la ecuación diferencial trivial de segundo orden. Finalmente, en el Capítulo 10 se muestra cómo transformar dichas simetrías en simetrías de la ecuación diferencial lineal general de segundo orden mediante una transformación de contacto. (Texto tomado de la fuente)

The theory of infinitesimal Lie symmetries plays an important role in the study of differential equations, providing methods for their resolution, classification, and reduction. On the other hand, in the context of linear differential equations, Picard–Vessiot theory offers a more comprehensive framework for understanding problems of resolution and reduction [7]. Several works [1, 2, 3, 4] explore the interplay between these two theories. However, the existing results are not unified and appear in slightly different settings: systems of n first-order linear differential equations and linear differential operators of order n. It is therefore natural to investigate the relationship between these contexts and the corresponding results. The first five chapters provide an introduction and a precise formulation of the problem. They develop the necessary background on the main objects under consideration: vector bundles and linear connections, Picard–Vessiot theory, contact geometry, and jet spaces. Subsequently, the theory of Lie symmetries is presented, together with its relationship to Picard–Vessiot theory. Chapter 6 introduces infinitesimal point symmetries and computes them for a second-order linear differential equation with coefficients in a given differential field. Chapter 7 develops the theory of symmetries from an algebraic–differential perspective, which we call operator symmetries. In Chapter 8, a comprehensive discussion is provided, establishing precise connections between the three notions of symmetry considered: Lie symmetries, point symmetries, and operator symmetries. Chapter 9 presents the Lie algebra of infinitesimal contact transformations. A certain graduation on this Lie algebra is exhibited, and the behavior of the Lie bracket with respect to this graduation is analyzed. The relationship between contact symmetries of second-order differential equations and the graduation of the Lie algebra of infinitesimal contact transformations is then established. The contact symmetries of the trivial second-order equation are computed explicitly. Finally, Chapter 10 shows how these symmetries can be transformed into symmetries of a general second-order linear differential equation via a contact transformation.