Teorías topológicas de campos abiertas-cerradas de dimensión dos

Abstract

Una Teoría Topológica de Campos Abierta-Cerrada de Dimensión Dos, OC-TFT, es un funtor simétrico monoidal desde la categoría de cobordismos abierto-cerrados de dimensión dos 2Cobext a la categoría de espacios vectoriales VectK. Un teorema muy importante en esta materia es que existe una equivalencia de categorías entre la categoría de Teorías Topológicas de Campos Abiertas Cerradas OC - TFT y la categoría de álgebras de Frobenius sabias KFrob. Para poder demostrar este teorema es necesario ver que todo cobordismo abierto-cerrado de dimensión dos pueda descomponerse en cobordismos elementales, a cada uno de los cuales le asociaremos un elemento de una categoría simétrica monoidal. Hacer una de estas asociaciones es sencillo, sin embargo, no sabemos que la asociación que tomemos esté bien definida. Para esto tomaremos un conjunto básico de restricciones algebraicas y veremos que son las únicas necesarias que deben satisfacer estos cobordismos, para que el funtor que definamos esté bien definido. Esta última parte es conocida como teorema de costura y lo que hace ver es que aunque un cobordismo abierto-cerrado se puede cortar en muchas formas, todas son iguales módulo difeomorfismo a la forma de cortarlos por cobordismos elementales. Luego podemos ver cada cobordismo abierto-cerrado como una composición de cobordismos elementales, y así una OC-TFT le asociará una composición de datos algebraicos elementales. La primera demostración de este teorema la dieron Moore y Segal en [11], y aunque existen otras demostraciones de este hecho, por ejemplo Lauda nos brinda otra en [6], desarrollaremos las ideas de Moore y Segal para dar una demostración completa de este teorema. / Abstract. A two dimensional Open-Closed Topological Field Theory, OC-TFT, is a monoidal symmetric functor from the category of two dimensional open-closed cobordisms 2Cobext to the category of vectorial spaces VectK. An important theorem in this subject is that there is an equivalence of categories between the category of two dimensional Open-Closed Topological Field Theories OC-TFT and the category of knowledgeable Frobenius algebras KFrob. To demostrate this theorem is necesary to see that every two dimensional open-closed cobordism can be decomposed into elementary cobordisms, for each one of which we associate an element of a symmetric monoidal category. Make one of these associations is simple, however, for the association that we take we do not know that is well de_ned. For this we take a basic set of algebraic constraints and see which are the only required that must meet these cobordisms, for that the functor that we de_ne will be well de_ned. This last part is called the sewing theorem and what it does do is that although an open-closed cobordism can be cut into many forms, all are equal di_eomorphism module to the form of elementary cobordisms cut them. Then we can see every open-closed cobordism as a composition of elementary cobordisms, and so an OC-TFT will associate a composition of basic algebraic data. The _rst proof of this theorem was given for Moore and Segal in [11], and although there are other proofs of this fact, for example Lauda gives us another in [6], we will develop the ideas of Moore and Segal to give a complete proof of this theorem.