Topología y geometría diferenciales en el lenguaje de sheaves

Abstract

El libro consta de seis capítulos. En el primero, después de desarrollar algunos preliminares de álgebra multilineal, se definen las sheaves y los espacios anillados y se presentan las construcciones asociadas más importantes. Para su comprensión basta poseer conocimientos básicos de álgebra abstracta y álgebra lineal y no se requiere ninguna familiaridad previa con el lenguaje de las sheaves. También se ha incluido una sección sobre categorías y functores, con el propósito de definir los conceptos más básicos y fijar la notación y la terminología que se usará a lo largo del libro. En el segundo capítulo se introducen los objetos básicos de estudio, los manifolds suaves y sus morfismos, y se presentan las construcciones más importantes. En el tercer capítulo se hace un estudio de las propiedades fundamentales de los fibrados vectoriales y de sus sheaves de secciones. En el cuarto capítulo se hace un estudio de la integración en manifolds y se da una prueba del teorema de Stokes y sus aplicaciones. Se introduce la cohomología de De Rham, se discuten sus propiedades básicas y se muestra su uso. Específicamente, se demuestra el teorema de la curva de Jordan, el teorema del punto fijo de Brouwer y el teorema de invarianza de dominio en el plano. En el quinto capítulo se introducen los conceptos fundamentales de la geometría riemanniana: la métrica, los campos tensoriales, las conexiones afines, la noción de transporte paralelo, de curvatura, etc., y se demuestran algunos de los teoremas clásicos, como el teorema egregium de Gauss y el teorema de Levi-Civita. En el sexto capítulo se construye la cohomología de sheaves, como una teoría de functores derivados, a la Grothendieck, se derivan como casos particulares las cohomologías de De Rham y Cech, y se demuestra el teorema de De Rham. Para hacer más fácil la lectura del libro se han incluido cuatro apéndices que contienen definiciones y resultados básicos de topología, álgebra y cálculo diferencial, así como un apéndice en el que se hace un tratamiento completo de las particiones de la unidad. Este libro está concebido para estudiantes de posgrado en matemáticas y física y requiere, además de cierta madurez matemática por parte del lector, una preparación básica en análisis, álgebra y topología. Esperamos que el libro sea útil a estudiantes de física teórica y a estudiantes de matemáticas que pretendan incursionar en el difícil campo de la geometría algebraica. / Abstract. The book consists of six chapters. In the first, then develop some preliminary multilinear algebra, define the sheaves and ringed spaces and associated buildings are more important. For your understanding enough to have basic knowledge of abstract algebra and linear algebra and does not require any prior familiarity with the language of sheaves. We have also included a section on categories and functors, with the aim of defining the basic concepts and set the notation and terminology used throughout the book. In the second chapter introduces the basic objects of study, the smooth manifolds and their morphisms, and presents the most important buildings. In the third chapter we study the fundamental properties of vector bundles and their sheaves of sections. In the fourth chapter is a study of integration in manifolds and give a proof of Stokes theorem and its applications. Introduced Rham cohomology, we discuss their basic properties and we demonstrate its use. Specifically, we show the curve theorem Jordan's theorem Brouwer's fixed point theorem and domain invariance in the plane. In the fifth chapter introduces the fundamental concepts of Riemannian geometry: the metric tensor fields, affine connections, the notion of parallel transport, curvature, etc., And demonstrates some of the classic theorems such as Theorem Egregium and Gauss's theorem Levi-Civita. In the sixth chapter is constructed cohomology sheaves, as a theory of derived functors, the Grothendieck, are derived as particular cases of De Rham cohomology and Cech, and proves the theorem of De Rham. To make it easier to read the book have included four appendices containing definitions and basic results of topology, algebra and calculus, as well as an appendix in which treatment is full of drive partitions. This book is designed for graduate students in mathematics and physics and also requires a certain mathematical maturity from the reader, a basic training in analysis, algebra and topology. We hope the book will be useful to students of theoretical physics and mathematics students who intend to venture into the challenging field of algebraic geometry.