L2 soluciones a la ecuación de difusión : una aplicación de la teoría de semigrupos y de ecuaciones diferenciales en espacios de Banach

Abstract

El presente trabajo tiene por objeto dar una aplicación de la teoría abstracta de semigrupos de operadores lineales y del problema de Cauchy en espacios de Banach sobre conjuntos cerrados a la ecuación del calor o de difusión. Nos hemos restringido al caso unidimensional en el espacio L2 ([0,1]; R) con el fin de desarrollar esta aplicación en todos sus detalles. Para dimensiones mayores o iguales a 2, una exposición igualmente detallada haría demasiado extenso el trabajo; sin embargo, la teoría abstracta es también aplicable a estos casos. En el capítulo 1 se lleva a cabo un estudio de ciertos operadores diferenciales de segundo orden, obteniendo los resultados que nos permitirán concluir en el capítulo 2, que dichos operadores son generadores de un semigrupo lineal. En el tercer capítulo se inicia el estudio del problema semilineal, utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales en espacios de Banach y los resultados obtenidos en el capítulo 2. El capítulo 4 y último centra su atención en el comportamiento asintótico de las soluciones en el caso semilineal autónomo. / Abstract: This paper aims to give an application of the abstract theory of semigroups of linear operators and the Cauchy problem in Banach spaces on closed sets for the heat equation or diffusion. We are restricted to one-dimensional case in the space L2 ([0.1], R) to develop this application in detail. For dimensions greater than or equal to 2, an equally detailed statement would work too long, however, the abstract theory is also applicable to these cases. Chapter 1 is carried out a study of certain second order differential operators, obtaining results that allow us to conclude in Chapter 2, these operators are generators of a linear semigroup. In the third chapter begins the study of semilinear problem using the theory of differential equations in Banach spaces and the results obtained in Chapter 2. Chapter 4 focuses on the asymptotic behavior of solutions in the autonomous semilinear case.