Sobriedad versus compacidad en espacios de Stone / Soberness vs compactness in Stone spaces

Abstract

El espectro primo de un anillo conmutativo es el conjunto de sus ideales primos dotado con la topología de Zariski. Este espacio topológico siempre es sobrio y coherente y si el anillo tiene unidad es también compacto. Un teorema de Hoschter establece que todo espacio topológico sobrio, coherente y compacto es homeomorfo al espectro primo de un anillo conmutativo con unidad. Es por esto que este tipo de espacios se denominan espacios espectrales. Si el espacio es sobrio y coherente es llamado up-espectral. Un espacio es A- espectral si su compactación de Alexandroff es espectral. En la primera parte del trabajo se estudian los espacios A-espectrales con base en su caracterización topológica y se establece que la clase de estos espacios es cerrada para sumas finitas. También se muestra que no todo espacio up-espectral es A-espectral. En la segunda parte del trabajo se estable que en el contexto de los espacios de Stone, es decir los espectros primos de retículos distributivos, la noción de sobriedad es dual de la noción de compacidad. / Abstract. The prime spectrum of a commutative ring is the set of its prime ideals endowed whit the Zariski topology. This topological space is always sober and coherent and if the ring has a unity element it is also a compact space. A theorem of Hoschter says that every saber, coherent and compact topological space is homeomorphic to the prime spectrum of some commutative ring whit unity element, so these spaces are called spectral spaces. If the space is sober and coherent is called up-spectral. A space is A-spectral if its Alexandroff compactification is a spectral space. In the first part of this work we study the A-spectral spaces based on its topological characterization and we show that the class of these spaces is closed under finite sums. It is also shown that there is an up-spectral space which is not an A-spectral one. In the second part, we establish that in the context of in Stone space, that is the prime spectrum of distributive lattices , the notion of soberness is dual of the notion of compactness.