Une caracterisation des anneaux fortemen réguliers

Abstract

On montre que la classe des anneaux fortement réguliers introduits et étudies par Arens-Kaplansky [1] coincide avec celle des anneaux dont le demi-groupe multiplicatif est inverse, donc coincide avec celle des anneaux réguliers dont l'ensemble de leurs idempotents est commutatif. 1. Soit A un anneau. Si A possede un unique élément unité à droite e, alors e est aussi une unite à gaucne. En effet, soit Ud(A) l'ensemble des elements unites à droite de A. Pour chaque e (pertenece) Ud (A), soit Pe l'applica tion de A dans A telle que Pe (x) = ex - x + e. On a (a) Pe (A) (inclusión) Ud (A). En effet, pour tout y (pertenece) A on a y Pe (x) = y, (b) la restriction de Pe a Ud (A) est injestive. En effet, soient e´, e" (pertenece) Ud (A), alors Pe (e') = Pe (ee") entraíne ee´ - e´+ e = ee" – ee" + e, mais ee´ e = ee" donc e´ = ee". Suppasons Ud (A) = e. D'aprés (a) pour tout x (pertenece) A on a Pe (x) = e, c´ est-à.-dire ex = x. Par conséquent e est un élément unité de A.