Funciones submodulares y matrices en el estudio de los espacios topológicos finitos

Abstract

Se realiza un estudio detallado de la conexión entre las matrices topogéneas, definidas por Shiraki [10], y los espacios topológicos finitos. Así mismo, se introducen las matrices de Stong y las matrices asociadas a funciones submodulares, claves en la caracterización de propiedades topológicas. A partir de estas matrices, se muestran algoritmos que permiten encontrar componentes conexas, beat points, weak points, la característica de Euler-Poincaré y el core de un espacio finito, además de encontrar una caracterización del grupo fundamental de homotopía usando las entradas de las matrices topogéneas y una propuesta para el cálculo de los operadores de borde del complejo singular del espacio X(K), con coeficientes en F2 = f0; 1g, donde K es un complejo simplicial finito arbitrario.

Abstract. A detailed study of the conexion between topogenous matrices, defined by Shiraki [10], and finite topological spaces is done. Likewise, Stong matrices and matrices associated to submodular functions, key in the characterization of topological properties, are introduced. From these matrices, algorithms are shown to find connected components, beat points, weak points, the Euler-Poincaré characteristic and the core of a finite space. Also a characterization of the fundamental group in finite spaces and a proposal to calculate the boundary operators associated to the singular complex of the space X(K), with coe_cient group F2 = f0; 1g, where K is an arbitrary finite simplicial complex, are presented.